Jelek leírása frekvenciatartományban

A lineáris áramköröket lineáris egyenletek írják le, melyekben a jelek konstanssal szorzása, összegzése, deriválása, integrálása is szerepelhet. Ha az \( x_i(t) \) bemeneti jelre a válaszjel \( y_i(t) \), akkor a \( \sum C_i \cdot x_i(t) \) jelre a válasz \( \sum C_i \cdot y_i(t) \). Ebből következik a szuperpozíció tétele is, azaz ha ismerjük a kimeneti jelet egy bemeneti jel esetére (azaz amikor a többi jel zérus), akkor a teljes kimeneti jel ezek összege lesz.

A szinuszos függvények alakja az összes ilyen műveletre invariáns, csak az amplitúdójuk és kezdőfázisuk változhat meg. Lineáris áramkörök esetén tehát a következőket állíthatjuk:

• Szinuszos bemeneti jelekre a kimeneti jelek is szinuszosak ugyanakkora frekvenciával.
• Ha egy jelet szinuszos jelek súlyozott összegére bontunk, akkor
  • egymástól függetlenül, külön kezelhetjük ezeket a komponenseket,
  • elegendő azt tudni, hogy az áramkör hogyan viselkedik (különböző frekvenciájú) szinuszos jelek esetén.

Szinuszos jelek leírása a frekvenciatartományban

Szinuszos jeleket koszinusz függvénnyel is megadhatunk általánosan (csak a kezdőfázisuk más: sin(x)=cos(x-π/2)), látni fogjuk hamarosan, miért praktikusabb ez:

Az f frekvencia helyett az egyszerűbb írásmód érdekében gyakran használjuk az ω=2πf körfrekvenciát a képletekben és számításokhoz:

Ezek tehát lényegében ugyanazt jelentik, még a megnevezésben is frekvenciát mondhatunk mindkét mennyiségre, de fontos pontosan tudni és szem előtt tartani a kettő közötti különbséget. A gyakorlatban és a mérések során az f frekvencia a hasznosabb.

Az Euler formula (e^jφ=cos(φ)+j⋅sin(φ)) alapján komplex exponenciális függvényekkel is megkaphatjuk ugyanezt:

Ennek az a fő előnye, hogy komplex mennyiségekkel könnyebben lehet kezelni a jeleket. Elég az egyik komplex tagot megtartani, hiszen a másik ennek komplex konjugáltja, így nem ad további információt:

Ezzel egyszerűen kifejezhető az eredeti valós függvény is:

Mivel a jel alakja ismert (cos), így adott frekvencián a V₀ amplitúdó és a φ kezdőfázis egyértelműen jellemzi. Az időfüggő rész így elhagyható, elegendő a jel megadására a következő úgynevezett phasor:

Az alábbi szimuláció mutatja be a fentebbieket. Az ábrán három mennyiség látható:

• a piros körök a V(t) függvényt mutatják
  • a komplex síkon a valós részt: \( Re \{ V_0 \cdot e^{j \varphi} \cdot e^{j \omega t} \} \)
  • az jobb oldalon a jelet időtengelyen: \( V_0 \cdot \cos(\omega t +\varphi) \)
• a fehér kör az időfüggő komplex mennyiséget mutatja: \( V_0 \cdot e^{j{\omega t +\varphi}} \)
• a kék kör a phasor: \( V_0 \cdot e^{j\varphi} \)

A V₀⋅e^jωt+φ egy V₀ sugarú körön mozog egyenletes sebességgel az idő függvényében, ezért a hozzá rendelhető vektort forgóvektornak szokták nevezni. A szimulációban a φ kezdőfázis értéke -π és π között állítható, így jól látszik, hogyan függ az időbeli jelalak ennek az értékétől. A cos jel időbeli Δt eltolódását is egyszerű megadni a kezdőfázis és a T periódusidő függvényében: Δt=T⋅φ/(2⋅π).

Ha több különböző frekvenciájú jelet használunk, vagy explicit módon jelezni szeretnénk a frekvenciához kötöttséget, akkor az alábbi alakot használhatjuk:

A phasorokat természetesen valós és képzetes rész formájában is megadhatjuk:

V_p(jω) tehát az időfüggő jel frekvenciatartománybeli megfelelője. A phasort feszültség és áram leírására is használjuk.

Derivált és intergált jelek phasorja

Mivel a kondenzátor és induktivitás esetén időfüggő jelek deriválására és integrálására is szükség van, érdemes a phasor viselkedését is megvizsgálni.

Időfüggő jel deriváltjához tartozó phasor kiszámítása

Először számítsuk ki az időfüggő jel deriváltját:

A derivált jel koszinuszos alakja tehát:

Ennek a phasorja:

Mivel

így végül a phasor:

Egy jel deriváltjának a phasorja a jel phasorja ismeretében egyszerűen megadható:

Ebből következik, hogy a jel integráltjának phasorja:

Ez utóbbi két összefüggés az igazán hasznos, mert segítségükkel a váltóáramú hálózatokat leíró differenciálegyenletek algebrai egyenletekké egyszerűsíthetők.

Fourier-transzformáció

Az időfüggő jeleket Fourier-transzformáció segítségével (periodikus jelek esetén Fourier-sorba fejtéssel) bonthatjuk szinuszos komponensekre, így tehát frekvenciafüggő jelekké alakíthatjuk őket:

Az integrálásnál dω=df/2π helyettesítéssel térhetünk át körfrekvenciára:

A Fourier-transzformált szinuszos jelre a phasorral ekvivalens, épp a phasor π-szerese, ugyanúgy megadja tehát a jel amplitúdóját és kezdőfázisát. Az 1.1 képletnek megfelelően itt szükség van a negatív frekvenciára is, hogy az összegzés valós időfüggvényt adjon. A negatív frekvenciájú komponens a pozitív frekvenciájú komponens komplex konjugáltja, plusz információt nem ad, a phasornál ezért hagyhattuk el a 2-vel való osztással együtt.

Ha egy jel Fourier-transzformáltját ismerjük, akkor egyszerűen megkaphatjuk a jel deriváltjának vagy integráljának Fourier-transzformáltját is, ahogy a phasorok esetében is:

A Fourier-transzformáció lineáris művelet, így jelek összegének, illetve konstansszorosának Fourier-transzformáltja megegyezik a Fourier-transzformáltjaik összegével illetve konstansszorosával, a deriválás jω-val szorzássá, az integrálás pedig osztássá alakul. Ezek segítségével az áramköröket leíró lineáris differenciálegyenletek algebrai egyenletekké alakíthatók.

Példa - az RC integrálókört leíró egyenlet Fourier-transzformálása

Az áramkört leíró differenciálegyenlet

Ha az időfüggő jelek helyett frekvenciafüggő jeleket használunk, azaz lényegében az egyenlet tagjait Fourier-transzformáljuk, akkor

Így

végül

Frekvenciaátviteli függvény

Megállapíthatjuk, hogy lineáris áramkörökre igaz, hogy ha a kimeneti és bemeneti jelet frekvenciatartományban reprezentáljuk, akkor:

A H(jω) a rendszer működését leíró függvény, frekvenciaátviteli függvénynek is nevezik:

Ha ezt ismerjük, akkor bármilyen bemeneti jelre egyszerű szorzással kapjuk meg a kimeneti jelet, elkerülhetjük a differenciálegyenletek kezelését.

A függvény komplex értékű: egy adott frekvencián az abszolút értéke nagysága az erősítés mértékét, a fázisa pedig a jelek közti fázistolást adja meg:

A fázisszög jelölésére használatos a következő két alak:

Az erősítés a kimenti és bemeneti jelek amplitudójának aránya egy adott frekvencián. Tisztán szinuszos jelek esetén tehát:

A φ(ω) fáziskülönbségéből kiszámíthatjuk az adott frekvenciájú szinuszos kimeneti és bemeneti jelek közötti Δt időbeli eltolódást. A fázis -π és π között változhat, ez -T/2 és T/2 közötti időbeli eltolásnak felel meg, ahol T a jel periódusideje, azaz T=1/f=2⋅π/ω. Az időbeli eltolódás ennek alapján így adható meg:

Érdemes figyelni arra, hogy ha Δt (és ezzel összhangban φ(ω)) pozitív, akkor a kimeneti jel balra tolódik el a bemenetihez képest. Ez jól látszik a fentebbi szimuláción.

Ha a jelek nem tisztán szinuszosak, akkor már nem ilyen egyszerű a helyzet, mert több frekvenciájú komponens összegzése szükséges.

Példa - A frekvenciaátviteli függvény jelentésének bemutatása

Egy rendszer frekvenciaátviteli függvénye f=100Hz frekvencián (ω=2π⋅100Hz) az alábbi:

A rendszer bemeneti jele

A kimeneti jel amplitúdója:

A kimeneti jel fázisát úgy kapjuk meg, hogy a bemeneti jel fázisához hozzáadjuk az átviteli függvény fázisát:

A kimeneti jel tehát:

Az alábbi grafikon ábrázolja a bemeneti (piros) és kimeneti (zöld) jeleket az idő függvényében:

Impedancia

Az áramköröket leíró egyenleteket az alkatrészeket jellemző feszültség-áram összefüggés felhasználásával adhatjuk meg. Mivel csak ezekben szerepel időbeli deriválás és integrálás, érdemes már ezeknél áttérni frekvenciatartományba. Az ellenállást, kondenzátort, induktivitást leíró összefüggések esetén ez a következőt jelenti:

alkatrész	időtartomány	frekvenciatartomány
ellenállás
kondenzátor
induktivitás

Ezek alapján mindhárom alkatrészre igaz, hogy a következő alakú egyenlettel írhatók le frekvenciatartományban:

Ez pont olyan, mint az Ohm-törvény, így mindhárom alkatrész úgy kezelhető hálózatszámításokban, mint az ellenállás. Egy általánosított ellenállás rendelhető hozzájuk, amit impedanciának nevezünk:

Az ellenállás, kondenzátor és induktivitás impedanciája a fentebbi táblázatból kiolvasható:

Az impedancia a frekvencia komplex értékű függvénye, nagysága és fázisa is frekvenciafüggő. Kétféle alakban is felírható. Az egyik alakban a valós és képzetes rész látható:

• A valós része ellenállás jellegű (hatásos ellenállás), ezen teljesítményveszteség lép fel, ha értéke nullától különböző.
• A képzetes rész (reaktancia, meddő ellenállás) teljesítményveszteséget nem okoz.
  • induktív jellegű, ha pozitív,
  • kapacitív jellegű, ha negatív,
  • a képzetes rész frekvenciafüggő.

Az impedanciát megadhatjuk a nagysága és fázisa segítségével is:

• Szinuszos jelek illetve szinuszos komponensek esetén
  • Az abszolút értéke az alkatrészen eső feszültség és áram amplitúdójának hányadosa (látszólagos ellenállás).
  • A fázisa a feszültség és az áram közötti fáziskülönbséget adja meg. A feszültség- és áramjelek közötti időbeli eltolódást ugyanúgy számíthatjuk ki, mint az átviteli függvény esetén.
  • Az abszolút érték és fázis is frekvenciafüggő.

Példa - Az impedancia jelentésének bemutatása

Vizsgáljuk meg az alábbi áramkörben a kondenzátoron eső feszültség és rajta folyó áram viszonyát!

A kondenzátor impedanciája:

Mivel minden alkatrészen ugyanakkora áram folyik, így a kondenzátoron eső feszültség és az áram viszonya kifejezhető az impedancia segítségével:

Milyenek az időfüggő jelek? Térjünk vissza időtartományba, azaz adjuk a V_C(t) és I(t) jeleket:

Mivel \( \frac {V_C(j \omega)} {I(j \omega)} = -j \frac {1}{\omega \cdot C} \) tisztán képzetes és negatív, ezért V_C(t) kezdőfázisa -π/2 értékkel tér el az áram kezdőfázisától.

A két jel amplitudójának hányadosa:

Az alábbi grafikon ábrázolja az áramot (piros) és a kondenzátoron eső feszültséget (zöld) az idő függvényében. A példában az áram amplitúdója 1 mA, C=100 nF, f=1000 Hz (ω=2π⋅1000 rad/s).

Jegyezzük meg, hogy az áram az ellenálláson eső feszültséggel is megadható:

Ezt felhasználva kifejezhetjük a kondenzátoron eső feszültséget az ellenálláson eső feszültséggel is:

Ez a gyakorlatban hasznos, mert feszültséget egyszerűbben mérhetünk, mint áramot.

Az impedancia reciprokát admittanciának nevezzük, az alábbi módon adhatjuk meg:

Az impedancia segítségével egyszerűsíthetjük az áramkörök leírását, használhatjuk az összes hálózatszámítási módszert és tételt, amelyeket az ellenállásokat és generátorokat tartalmazó hálózatok esetén alkalmazhatunk. Eredő ellenálláshoz hasonlóan létezik ezért eredő impedancia is, ami a fentebbi komponensekből álló hálózatokhoz rendelhető.

Alkalmazási példa: RC integrálókör számítása

Példaként nézzük meg, hogyan alkalmazható az impedancia az RC integrálókör számításához!

A kondenzátort ugyanúgy kezeljük, mint az ellenállást, az X_C(jω) impedanciáját használjuk. A hurokban folyó áram így:

Ezzel kifejezhetjük az ellenálláson és kondenzátoron eső feszültségeket épp úgy, ahogy ellenállásokból álló feszültségosztó esetén tesszük:

A kimeneti feszültség a kondenzátoron eső feszültséggel egyezik meg:

Helyettesítsük be az impedancia értékét a frekvenciaátviteli függvény kiszámításához:

Végül azt kapjuk, amit az áramkört időben leíró differenciálegyenlet Fourier-transzformálásával:

Ebből a frekvenciaátviteli függvény tulajdonságainak megfelelően azt is tudhatjuk, hogy szinuszos bemeneti jel esetén milyen lesz a kimeneti jel idő függvényében. A kimeneti és bemeneti jel amplitudójának hányadosa tehát a frekvenciaátviteli függvény abszolút értékével egyezik meg, a kimeneti jel időbeli eltolását pedig a fázis határozza meg, ahogy egy fentebbi ábra mutatja.

Az áramkör részletesebb elemzése a szűrőköröknél található.

Alkalmazási példa: impedancia soros kapcsolás esetén

Kapcsoljunk sorba egy ellenállást és egy induktivitást:

Az alkatrészek impedanciája R és jωL, így az eredőjük R+jωL. Az alábbi igaz a feszültségekre:

• A két végpont között a feszültségkülönbség \( I(\omega) \cdot (R+j \omega L) \).
• Az ellenálláson eső feszültség \( I(\omega) \cdot R \).
• Az induktivitáson eső feszültség \( I(\omega) \cdot j \omega \cdot L \).

A feszültségek amplitúdóját a komplex értékük abszolút értékével kaphatjuk meg:

• A két végpont között \( |I(\omega)| \cdot \sqrt{R^2+\omega^2 L^2} \).
• Az ellenálláson \( |I(\omega)| \cdot R \).
• Az induktivitáson \( |I(\omega)| \cdot \omega \cdot L \).

Ebből jól látszik, hogy az egyes alkatrészeken eső feszültségek amplitúdójának összege nem egyezik meg a végpontok között mérhető feszültség amplitúdójával. Ennek oka az, hogy a jelek között fáziskülönbség van - szinuszos jelek összegének amplitúdója csak akkor egyezik meg a tagok amplitúdójának összegével, ha a fáziskülönbség zérus.

Alkalmazási példa: impedancia párhuzamos kapcsolás esetén

Számítsük ki párhuzamosan kapcsolt ellenállás és kondenzátor eredő impedanciáját! Az egyes alkatrészek impedanciája R és 1/jωC. Az eredő:

Szorozzuk meg a számlálót és nevezőt is jωC-vel, ekkor egy gyakrabban használt formához jutunk:

A komplex számhoz jobban illeszkedő formában, a számlálót és nevezőt is 1-jωRC-vel megszorozva:

Alkalmazási példa: kondenzátor és induktivitás sorosan

Kapcsoljunk sorba egy kondenzátort és egy induktivitást. Az eredő impeancia:

Az első tag számlálóját és nevezőjét is szorozzuk meg j-vel, és vegyük figyelembe, hogy j²=-1:

Észrevehetjük, hogy ha \( \omega L = \frac {1}{\omega C} \), azaz \( \omega= \frac {1}{\sqrt{LC}} \), akkor az impedancia zérus. Bármekkora ilyen frekvenciájú áram folyhat át az alkatrészeken, a végpontjaikon a feszültségkülönbség nulla. Az alkatrészen eső feszültségek amplitúdója azonos és nem nulla, de a fáziskülönbségük éppen π, így az összegük viszont nulla lesz. Akár össze is köthetjük a végpontokat, ha van kezdeti áram, akkor ez folyamatosan fenn is marad.

Az alábbi áramkör segít megérteni a működést. A kondenzátort kezdetben feltöltjük, majd rákapcsoljuk az induktivitásra. Az áramkör energiát nem vesz fel, mégis folyamatosan oszcillál.

A sororsan kapcsolt kondenzátort és induktivitást soros rezgőkörnek is nevezik. A valóságban mindig van valamekkora ellenállás is a rezgőkörben, ezért ezen energia távozik, az oszcilláció lecseng.

Alkalmazási példa: kondenzátor és induktivitás párhuzamosan

Kapcsoljunk párhuzamosan egy kondenzátort és egy induktivitást. Az eredő impeancia:

Észrevehetjük, hogy ha \( \omega^2 L C = 1 \), azaz \( \omega= \frac {1}{\sqrt{LC}} \), akkor az impedancia végtelen nagy. Bármekkora ilyen frekvenciájú feszültséget kötünk a párhuzamos eredőjükre, áramot a jelforrásból a kapcsolás nem vesz fel. Az alkatrészen folyó áramok amplitúdója azonos és nem nulla, de a fáziskülönbségük éppen π, így az összegük viszont nulla lesz. Akár le is választhatjuk a jelforrást, ha van kezdeti áram, akkor az áram oszcillálása folyamatosan fenn in marad.

Az alábbi áramkör segít megérteni a működést. Az induktivitáson kezdetben DC áramot hozunk létre, majd lekapcsoljuk a jelforrást. Az áramkör energiát nem vesz fel, mégis folyamatosan oszcillál.

A párhuzamosan kapcsolt kondenzátort és induktivitást párhuzamos rezgőkörnek is nevezik. A valóságban mindig van valamekkora ellenállás is a rezgőkörben, ezért ezen energia távozik, az oszcilláció lecseng.

Alkalmazási példa: csomóponti potenciálok módszere

Írjuk fel a csomóponti potenciálok módszerének egyenleteit az alábbi áramkörre:

Az A csomópontra írjuk fel a csomóponti törvényt:

Az ágak egyenletei közül az első az L₁, V₁ és R₂ alkatrészek ágára vonatkozik:

A középső ág egyenlete:

Végül a jobb oldali ág egyenlete:

Természetesen a feszültségek és áramok frekvenciatartományban értendők (pl. V_A(jω)), de ezt nem mindig jelezzük közvetlenül.

Alkalmazási példa: hurokáramok módszere

Írjuk fel a hurokáramok módszerének egyenleteit az alábbi áramkörre:

Az első hurok egyenlete:

A másodiké:

Vektor-mátrix alakban:

Természetesen a feszültségek és áramok frekvenciatartományban értendők (pl. V₁(jω)), de ezt nem mindig jelezzük közvetlenül.

Alkalmazási példa: Thevenin-tétel

Alkalmazzuk a Thevenin-tételt az alábbi áramkörre! A két kivezetés a kondenzátor két csatlakozási pontja.

Először adjuk meg a helyettesítő feszültséggenerátor feszültségét! A kondenzátor árama:

így a kondenzátoron eső feszültség, ami egyben az üresjárati feszültség:

A Thevenin-féle ekvivalens impedancia számításához helyettesítsük a V₁ feszültséggenerátort rövidzárral. Ekkor a két kivezetés közötti impedancia:

Egyszerűbb alakban:

Példák az átviteli függvény és az impedancia gyakorlati használatának bemutatására

Az idő- és frekvenciatartományi leírás összefüggéseit, az átviteli függvény és impedancia gyakorlati alkalmazását, mérését mutatja be az Átviteli függvény és impedancia mérése mintalecke.

Mintavételezett jelek frekvenciatartományi kezelése - diszkrét Fourier-transzformáció

Digitális mérések esetén a jeleket mintavételezéssel kapjuk meg. Felmerül a kérdés, hogyan határozhatjuk meg ekkor a phasort, azaz hogyan tudjuk egy mintavételezett jel adott frekvenciájú koszinuszos komponensének az amplitúdóját és kezdőfázisát pontosan megkapni. Erre a legjobb módszer a diszkrét Fourier-transzformáció.

Tegyük fel, hogy egyenletes Δt időközönként N darab mintát veszünk egy x(t) jelből, így jutunk az x_i adatokhoz, azaz a mérési kezdeti időpontját zérusnak véve

Azt is feltételezzük, hogy a jel periodikus és az N minta pontosan egész számú periódust tartalmaz. Az N mérési ponttal reprezentált jelben k számú periódussal rendelkező komponens phasorjának valós és képzetes részét az alábbi képletek adják meg:

Ezzel az összes fentebbi módszer használhatóvá válik digitálisan mért időfüggő jelekre. Méréssel határozhatunk meg például frekvencia-átviteli függényt vagy impedanciát.

Alkalmazási példa: kondenzátor impedanciájának mérése

Az alábbi áramkört használjunk kondenzátor impedanciájának mérésére:

Konkrét példaként legyen R értéke 22 kΩ, C értéke 10 nF, a feszültséggenerátor 1 V amplitúdójú 1000 Hz frekvenciájú szinuszos jelet ad.

Az áramkörben folyó áram meghatározásához alkalmazzuk az Ohm-törvényt:

A kondenzátor impedancája:

Írjuk ezt fel a valós és képzetes részek felhasználásával:

Ebből az impedancia valós és képzetes részét kifejezhetjük:

Az alábbi grafikon mutatja a V1 (piros körök) és V2 (zöld körök) feszültség időfüggését két periódusnyi időre, összesen 16 mintavétellel:

Folytonos vonal illusztrálja a jeleket a mintavételi pontokon kívül. A mintavételezett értékeket az alábbi táblázat adja meg 3 tizedesjegy pontossággal:

V1[V]
V2[V]

Alkalmazzuk a mintavételezett jelekre a diszkrét Fourier transzformáció képletét annak figyelembe vételével, hogy két periódusnyi jel van a teljes mintavételi időtartamban, azaz k=2.

C-nyelvű program az impedancia kiszámítására

Az alábbi C-nyelvű forráskód számítja ki az impedancia valós és képzetes részét a fentebbiek alapján:

#include <math.h>
#define N 16

void main(void)
{
  float resistance = 22000;
  float V1_data[N] = {
    0.841,0.977,0.540,-0.213,-0.841,-0.977,-0.540,0.213,
    0.841,0.977,0.540,-0.213,-0.841,-0.977,-0.540,0.213
  };
  float V2_data[N] = {
    0.033,0.437,0.585,0.391,-0.033,-0.437,-0.585,-0.391,
    0.033,0.437,0.585,0.391,-0.033,-0.437,-0.585,-0.391
  };
  int k=2;
  int i;
  float V1_phasor_re;
  float V1_phasor_im;
  float V2_phasor_re;
  float V2_phasor_im;
  float I_phasor_re;
  float I_phasor_im;
  float I_phasor_abs_sqr;
  float XC_re;
  float XC_im;

  V1_phasor_re = V1_phasor_im = 0;
  V2_phasor_re = V2_phasor_im = 0;
  for(i=0; i<N; i++)
  {
    V1_phasor_re += (2.0/N)*V1_data[i]*cos(2.0*M_PI*k*i/N);
    V1_phasor_im += -(2.0/N)*V1_data[i]*sin(2.0*M_PI*k*i/N);
    V2_phasor_re += (2.0/N)*V2_data[i]*cos(2.0*M_PI*k*i/N);
    V2_phasor_im += -(2.0/N)*V2_data[i]*sin(2.0*M_PI*k*i/N);
  }
  I_phasor_re = (V1_phasor_re-V2_phasor_re)/resistance;
  I_phasor_im = (V1_phasor_im-V2_phasor_im)/resistance;
  I_phasor_abs_sqr = I_phasor_re*I_phasor_re+I_phasor_im*I_phasor_im;
  XC_re = (V2_phasor_re*I_phasor_re+V2_phasor_im*I_phasor_im)/I_phasor_abs_sqr;
  XC_im = (V2_phasor_im*I_phasor_re-V2_phasor_re*I_phasor_im)/I_phasor_abs_sqr;
  printf("%f, %f", XC_re, XC_im);
}


A program lefutása után a következő értékeket kapjuk: 2.604557, -15925.792969. Ez majdnem tisztán képzetes, a valós része igen kicsi. Ideális esetben nulla lenne a valós rész, de itt az adatok nem teljesen pontosak.

Python nyelvű program az impedancia kiszámítására

Az alábbi Python nyelvű forráskód kiszámítja az impedanciát komplex számként, és kiírja a valós és képzetes részét:

import numpy as np

resistance = 22000
v1 = np.array([0.841,0.977,0.540,-0.213,-0.841,-0.977,-0.540,0.213,                0.841,0.977,0.540,-0.213,-0.841,-0.977,-0.540,0.213])
v2 = np.array([0.033,0.437,0.585,0.391,-0.033,-0.437,-0.585,-0.391,                0.033,0.437,0.585,0.391,-0.033,-0.437,-0.585,-0.391])
N=16
k=2
v1_dft = np.fft.fft(v1)
v2_dft = np.fft.fft(v2)
v1_phasor = 2/N*v1_dft[k]
v2_phasor = 2/N*v2_dft[k]
i_phasor = (v1_phasor-v2_phasor)/resistance
Xc = v2_phasor/i_phasor
print (Xc)


A program lefutása után a következő értékeket kapjuk: 2.6051907237899194, -15925.791311938627. Ez majdnem tisztán képzetes, a valós része igen kicsi. Ideális esetben nulla lenne a valós rész, de itt az adatok nem teljesen pontosak.

A kondenzátor kapacitását az impedanciából kiszámíthatjuk:

A kapacitásra kapott érték tehát:

Mindössze 16 mintavételi pont (periódusonként 8 pont) felhasználásával igen nagy pontosságú eredményt ad a módszer.

Az átviteli függvény

Az átviteli függvény definiálása Laplace-transzformáció segítségével

A Laplace-transzformáció a Fourier-transzformáció általánosításának tekinthető, sok szempontból alkalmasabb, egyszerűbben használható matematikai eszköz lineáris rendszereket leíró egyenletek kezelésére. A legfontosabb megállapítások:

• a \( j \omega \) helyett az \( s = \sigma + j \omega \) változót használjuk
• σ = 0 esetén a Fourier-transzformációval azonos eredményt ad
• a deriválás s-el szorzássá alakul: \( \displaystyle \frac {dV(t)}{dt} \leftrightarrow s \cdot V(s) \)
• az integrálás 1/s-el szorzássá alakul: \( \displaystyle \int dV(t)dt \leftrightarrow \frac {1}{s} \cdot V(s) \)

Az alkatrészekhez ugyanúgy rendelhetünk impedanciát, ahogy a Fourier-transzformáció segítségével:

alkatrész	időtartomány	frekvenciatartomány
ellenállás
kondenzátor
induktivitás

Az átviteli függvényt a Laplace-transzformáció segítségével definiáljuk:

Ez az alak tehát megegyezik a frekvencia-átviteli függvény alakjával, ugyanúgy használhatjuk. Az átviteli függvény, frekvencia-átviteli függvény, a phasorok ekvivalens leírást jelentenek, a Laplace-transzformáció hatékonyabb matematikai kezelést jelent összetettebb esetekben.

Részletesebben a átviteli függvényről

Az egy bemenettel (x(t)) és egy kimenettel (y(t)) rendelkező (single input single output, SISO) lineáris áramköröket legáltalánosabban az alábbi differenciálegyenlettel írhatjuk le:

A Laplace-transzformáció a Fourier-transzformációhoz hasonlóan algebrai egyenletekké alakítja a lineáris differenciálegyenleteket. A fenti differenciálegyenlet Laplace-transzformáltja a következő:

Erre a következőt kapjuk:

Ezt felírhatjuk gyöktényezős alakban is, ami megkönnyíti a függvény kezelését:

Tovább alakítva olyan formát kapunk, amit a leggyakrabban használnak áramkörök átviteli függvényeinek megadására:

Az átviteli függvényre érvényes:

• A tört számlálójában s polinomja szerepel, a z_i gyökök az átviteli függvény zérusai.
• A tört nevezőjében s polinomja szerepel, a p_j gyökök az átviteli függvény pólusai.
• A zérusok és pólusok vagy valósak, vagy komplex konjugált párok
• Szinuszos jelek esetén
  • Az abszolút értéke a kimeneti és bemeneti jel amplitúdójának hányadosa, azaz az erősítés.
  • A fázisa a kimeneti és bemeneti jelek közötti fáziskülönbséget adja meg.

Az átviteli függvény ábrázolása p-z síkon

Az átviteli függvény ábrázolásához elterjedten rajzolják meg a zérusokat körökkel és pólusokat keresztekkel a komplex síkon (p-z síkon):

Az átviteli függvény lehetséges tagjai

Az átviteli függvény számlálója és nevezője mindig felbontható részfüggvények szorzatára az alábbiaknak megfelelően:

típus	részfüggvény	gyök	megjegyzés
konstans tag	k	-	-
gyök az origóban	s	0	-
gyök a valós tengelyen			-
komplex konjugált gyökpár			Q ≤ 1/2 esetén két valós gyök van, így a részfüggvény felírható \( (1+ \frac {s}{\omega_1}) \cdot (1+ \frac {s}{\omega_2}) \) alakban. Q=1/2 esetén ω1=ω2.
gyökpár a képzetes tengelyen			Q → ∞ határesete a komplex konjugált gyökpár tagnak.

Az áramkörök átviteli függvényeit általában impedanciák és hálózatszámítási módszerek felhasználásával kapjuk meg, ami egyszerűbb esetekben gyakran vezet a fenti alakhoz.

Az átviteli függvényben a gyökök csak a valós tengelyen lehetnek, ha az áramkör csak egyféle reaktív komponenst - vagy kondenzátorokat, vagy induktivitásokat - tartalmaz az ellenállások mellett. Ekkor tehát a táblázatban szereplő négyzetes tagok nem szerepelnek a függvényben. Ha mindkét reaktív komponens része a kapcsolásnak, akkor megjelenhetek másodfokú tagok, és akár rezonancia is előfordulhat.

Az alábbi grafikonok a másodfokú aluláteresztő karakterisztikához tartoznak, amikor az átviteli függvény nevezőjében van a másodfokú tag. A Q jósági tényező változtatásával látható a viselkedés a komplex p-z síkon, az egységugrásra adott válaszjelen, az amplitúdó- és fáziskarakterisztikán. Ha Q kisebb, mint 1/2, akkor két valós gyök van és nincs oszcilláció.

Az átviteli függvény ábrázolása Bode-diagramon

dB skála

A dB (deciBel) teljesítmények vagy amplitúdók arányának logaritmikus értéke.

teljesítmény esetén a P₁ teljesítményhez viszonyítjuk a P₂ teljesítményt, az arány tehát P₂/P₁.
Ugyanez dB egységekben:

Amplitúdók esetén az A₁ amplitúdóhoz viszonyítjuk az A₂ amplitúdót, az arány tehát A₂/A₁.
Ugyanez dB egységekben:

Teljesítmény esetén 10, amplitúdók eseték 20 a szorzó, mivel a teljesítmény az amplitúdó négyzetével arányos.

Bode-diagram

Az átviteli függvény amplitúdó- és fáziskarakterisztikájának logaritmikus ábrázolása a Bode-diagram.

• A vízszintes tengelyen a körfrekvencia (vagy frekvencia) van logaritmikus léptékben.
• Az erősítést dB egységekben vesszük:
  • Az erősítés \( A(\omega) = |H(j \omega)| \)
  • Az erősítés dB egységekben: \( 20 \cdot \log_{10}(A(\omega)) \)
• A fázist radiánban, lineáris tengelyen ábrázoljuk: \( \varphi(\omega)=\angle H(j \omega) \)

Az alábbi ábrán egy Bode diagram példa látható.

Bode diagram törtvonalas közelítéssel

A frekvenciaátviteli függvény H(jω) abszolút értéke és fázisa is jól közelíthető törtvonalas ábrázolással. Ennek alapja az, hogy a számlálóban és nevezőben levő tagokat közelítjük. A következő táblázat foglalja össze ezeket:

H(jω) tagjainak közelítése
ha ω < ω0	1	1	1
ha ω > ω0

Ezzel a közelítéssel az átviteli függvény abszolút értéke bármelyik frekvencián ω egész hatványával arányos lesz:

• \( A(\omega) \propto \omega^q \)
• a q egész szám lehet negatív, pozitív és nulla is
• q értéke frekvenciatartományonként változik. A frekvenciatartományokat az egyes részfüggvényekhez tartozó zérus- vagy pólusfrekvenciák határolják.
• A dB skála miatt a meredekség az adott frekvencián \( \displaystyle q \cdot \frac {\text{20 dB}}{\text{dekád}} \)
• A fázis az adott frekvencián π/2 egész számú többszöröse: \( \displaystyle q \cdot \frac {\pi}{2} \)

A törtvonalas ábrázolást az alábbiaknak megfelelően készíthetjük el:

1. Jelöljük be az összes részfüggvényhez tartozó ω_z,i zérus és ω_p,k pólusfrekvenciát a vízszintes tengelyen. Ezek lesznek a töréspontokhoz tartozó frekvenciák, gyakran nevezik ezeket törésponti frekvenciának.
2. Határozzuk meg az átviteli függvény értéket dB egységekben a legkisebb törésponti frekvencia alatt olyan kis frekvencián, ahol a közelítés kellő pontossággal adja meg az erősítés értékét (az első töréspont alatt legalább egy dekáddal).
3. Határozzuk meg az átviteli függvény közelítő alakját (A(ω) ∝ ω^q), azaz a q kitevő értékét ezen a frekvencián. Az egyenes meredeksége itt q⋅20 dB/dekád.
4. Ezzel a meredekséggel rajzoljunk egyenest az első törésponti frekvenciáig.
5. Határozzuk meg a következő szakasz meredekségét. Ha a törésponti frekvencia
   • a számlálóban van (zérusfrekvencia), akkor a meredekséget növeljük 20 dB/dekád vagy 40 dB/dekád értékkel attól függően, hogy első vagy másodfokú tag következik.
   • a nevezőben van (pólusfrekvencia), akkor a meredekséget csökkentsük 20 dB/dekád vagy 40 dB/dekád értékkel
6. Ismételjük az eljárást az összes töréspont esetére.

A Bode-diagram a fázis ábrázolására is használható. Az egyes szakaszokon a fázistolás értéke elvileg q⋅π/2, ez viszont a törésponti frekvenciáknál éles ugrásokat jelent. Ezt azzal szokták elkerülni, hogy egy kisebb meredekségű egyenessel kötik össze a pontokat a törésponti frekvencia alatt és fölött. A következő ábrázolásokat tehetjük ennek alapján:

• A fázis értéke a törésponti frekvenciák közt π/2 egész számú többszöröse. A töréspontonál így éles ugrások jelennek meg. Ennek értéke a töréspontoktól távolabb ad elfogadható közelítést.
• A törésponti frekvencia tizede és tízszerese között egyenes vonallal reprezentáljuk a fázisváltozást.
  • Az egyenes két dekád hosszon köti össze töréspont alatti és feletti fázisértékeket.
  • Ha a szomszédos törésponti frekvenciák aránya kisebb, mint 100, akkor az egyenesek átfednek. Ekkor az átfedő tartomány középértékéhez húzzuk az egyenes vonalat.

Példa: egy zérussal és egy pólussal rendelkező átviteli függvény Bode-diagramja

Az alábbi átviteli függvény egy zérussal és egy pólussal rendelkezik:

ahol ω_p < ω_z. A közelítés az alábbi módon történik:

	számláló	nevező	átviteli függvény	jelleg
ha \( \omega < \omega_p \)	1	1	1	vízszintes egyenes
ha \( \omega_p < \omega < \omega_z \)	1	\( \frac {j \omega}{\omega_p} \)	\( \frac {\omega_p}{j \omega} \)	-20 dB/dekád meredekségű csökkenés
ha \( \omega > \omega_z \)	\( \frac {j \omega}{\omega_z} \)	\( \frac {j \omega}{\omega_p} \)	\( \frac {\omega_p}{\omega_z} \)	vízszintes egyenes

A Bode-diagram ezek alapján: