Kapacitív feszültségosztó

A kapacitív feszültségosztónál az ellenállásokkal felépített feszültségosztóhoz hasonlóan a bemeneti feszültséget sorosan kapcsolt passzív elemekre, kondenzátorokra kapcsoljuk, a kimenet az egyik kondenzátoron eső feszültség:

A bemeneti feszültség a két kondenzátoron eső feszültség összege:

Minden alkatrészen azonos áram folyik (a kimeneti oldalon nincs terhelés), ezt felhasználva

A második tag a kimeneti feszültség egyben:

Ebből kapjuk:

Ezt helyettesítsük be a bemeneti feszültség kifejezésébe:

A kimeneti feszültség tehát:

Ez ugyanolyan alakú, mint ellenállások használata esetén, de a számlálóban nem annak a kondenzátornak a kapacitása van, amin a kimeneti feszültség esik.

Az áramkör DC vagy lassan változó jelek kezelésre a gyakorlatban nem alkalmas, a kondenzátorok ilyen esetben nem vezetnek. Váltófeszültségű hálózatoknál viszont több alkalmazása is van, néhány példa erre:

• AC tápfeszültség leosztásakor előnyös az, hogy a kondenzátorokon nincs teljesítményveszteség (például LED fényforrások esetén).
• Oszcilloszkópok mérőfejében is használnak kapacitív osztót.
• A villamos energetika területén nagyfeszültségű AC jelek, kisülések, átütési feszültség mérésére is elterjedten alkalmazzák. A bemeneti oldali kondenzátor biztosítja a nagyfeszültség szigetelését, a kimeneten olyan kicsi jel keletkezik, amit a mérőműszerek kezelni tudnak.

Az RC áramkör működése

Az RC áramkör kezelése igen gyakran szükséges számos elektronikai rendszer működésének leírásához. Az RC áramköri elrendezés sokszor nem szándékosan kialakított, hanem a rendszer sajátja többek között A/D konverterek, műszerek, áramköri bemenetek esetében is.

RC integráló áramkör

Számoljuk ki az alábbi áramkör kimeneti feszültségét:

A kimeneti feszültség a kondenzátoron eső feszültséggel egyezik meg, aminek kiszámításához alkalmazzuk a huroktörvényt: a generátor feszültsége megegyezik az alkatrészeken eső feszültségek összegével.

Elágazás nincs, ezért minden alkatrészen ugyanazt az áramot használhatjuk a feszültségek kifejezésére:

Mivel

így

Végül

Átrendezve

Ha |V_out(t)| ≪ |V_in(t)|, akkor V_in(t)-V_out(t) ≈ V_in(t), így

A kimenő feszültséget kifejezve

Az áramkör kimenetén tehát ebben az esetben a bemeneti feszültség integráljával közel arányos jel jelenik meg, ezért integráló körnek is nevezik. Érthető ez abból is, hogy ekkor a kondenzátor töltőárama jó közelítéssel V_in(t)/R értékű, amit a kondenzátor integrál.

RC differenciáló áramkör

Az áramkör kapcsolási rajza a következő

Ebben az esetben a kimeneti feszültség az ellenálláson eső feszültséggel egyezik meg, aminek kiszámításához ismét alkalmazzuk a huroktörvényt: a generátor feszültsége megegyezik az alkatrészeken eső feszültségek összegével.

Mivel V_out(t) = V_R(t) = R⋅I(t)

Végül

Ha V_out(t) elhanyagolható V_in(t)-hez képest, akkor

Az áramkör kimeneti jele ebben az esetben közelítőleg arányos a bemeneti feszültséggel, ezért differenciáló körnek is nevezik.

Ugrásfüggvény hatása. Időben állandó feszültség hatása.

Jelek ugrásszerű változása rendszeresen előfordul a műszaki rendszerekben és az elektronikában. Vizsgáljuk meg, milyen a kimeneti jel változása ugrásfüggvény hatására egy RC áramkörben.

Mivel elágazás nincs, minden alkatrészen ugyanazt az áramot használhatjuk a feszültségek kifejezésére:

V_out(t) a kondenzátoron eső feszültség, így

Végül

Átrendezve

Az ugrásszerű gerjesztést úgy is tekinthetjük, hogy a bemeneti jel konstans (az ugrás utáni érték), de a kezdeti feltétel az ugrás pillanatában megfelelő a leírásra. Ez azt jelenti, hogy a kondenzátor feszültsége az ugrás pillanatában (t=0 s) épp a kimeneti feszültség kezdeti értékének (V_out(0)) megfelelő, és ez változik idő függvényében a megváltozott bemeneti jelszint hatására.

Még jobban érthetővé válhat ez a megközelítés az alábbi áramkör elemzésével, aminek viselkedése épp ennek megfelelő. Itt két konstans feszültségű generátor látható. Ha az S1 kapcsoló zárt, akkor a kimeneti feszültség (azaz a kondenzátoron eső feszültség) megegyezik a kimenő oldali generátor feszültségével, ami Vout(0). A t=0 s időpillanatban kinyitva a kapcsolót a bemeneti oldali generátor hatására (melynek értéke megfelel az ugrásszerű jel ugrás utáni feszültségének) változik a kondenzátoron eső feszültség.

A változók szétválasztása után kapjuk:

Integráljuk a fenti egyenlet mindkét oldalát:

Ebből adódik:

Az e^const integrálási konstans a kezdeti feltételből meghatározható. Mivel a t=0 s időpontban a kimeneti feszültség értéke V_out(0), így a következőt kapjuk:

Átrendezve:

A kimeneti jel tehát közelít a bemeneti jelhez, mivel a kondenzátor töltődik (vagy kisül, ha a bemenő feszültség a kisebb) a feszültségkülönbséggel arányos sebességgel. \( \tau=R \cdot C \) az áramkör időállandója, ennyi idő alatt csökken e-ad részére a feszültségkülönbség.

A következőképp célszerű a gyakorlatban jól használható módon összefoglalni a feszültség időfüggésének kiszámítását:

Példa - kondenzátor töltése 0 V feszültségről

Egyszerű eset, amikor kezdetben a kondenzátoron eső feszültség V_out = 0 V és a bemeneti feszültség is 0 V-ról ugrik a V_in értékre a t=0 s időpillanatban. Ekkor az összefüggés alakja:

A következő ábrán τ értéke 1 s, V_in=1 V, az ábra egyes elemei:

• piros vonal: a bemeneti jel
• fekete vonal: a kimeneti jel
• zöld vonal: az időállandóhoz tartozó érték
• kék vonal: a kezdeti szakasz közelítése egyenessel. A kezdeti szakaszban a kondenzátoron eső feszültség jóval kisebb, mint ez ellenálláson mérhető, így az áram kevéssé változik. Ekkor az áramkör jó közelítéssel integrálja a bemeneti jelet.

A kimeneti feszültség sosem éri el pontosan a bemeneti feszültség értékét, de folyamatosan közelít hozzá. A gyakorlatban (például mintavételezéskor) fontos, hogy mennyi idő múlva érhető el egy megadott pontosság. Ezt gyakran % értékekben adják meg a bemeneti jelváltozáshoz viszonyítva.

Az alábbi kalkulátorral kiszámítható, hogy adott idő után a jel mennyire pontosan áll be a végértékre.

t/τ =

beállási arány =

eltérés =

Példa - kondenzátor kisütése

Tegyük fel, hogy egy kondenzátoron eső feszültség a t=0 s időpillanatban V_C(0), és egy ellenállást kötünk vele párhuzamosan. Ez annak felel meg, hogy a bemeneti feszültség 0 V egy RC áramkörben. Ennek megfelelően:

A következő ábrán τ értéke 1 s, V_C(0)=1 V, az ábra egyes elemei:

• fekete vonal: a kondenzátoron eső feszültség
• zöld vonal: az időállandóhoz tartozó érték

A kondenzátoron eső feszültség sosem éri el pontosan a 0 V értéket, de folyamatosan közelít hozzá. Ezt adja meg az alábbi összefüggés:

Az alábbi kalkulátorral kiszámítható, hogy adott idő után a feszültség hányad részére csökken le.

t/τ =

kisülési arány =

Szinuszos jel hatása

Lineáris rendszerek leírásánál hasznos, ha ismerjük a kimeneti jelet szinuszos bemeneti jelek esetén, mivel a jeleket gyakran bontjuk szinuszos összetevőkre.

A kimeneti jelet szinuszosnak feltételezhetjük, mivel az áramkört leíró egyenlet lineáris:

Behelyettesítéssel kapjuk:

Részletes számítások

Használjuk fel a következő trigonometrikus azonosságokat:

Ezzekkel

A cos(ωt) és sin(ωt) tagok kiemelésével:

Ez minden időpillanatra csak akkor teljesülhet, ha a cos(ωt) és sin(ωt) tagok együtthatója is nulla. A cos(ωt) együtthatója átrendezve:

Ebből kapjuk:

Tehát a fáziskülönbség:

A sin(ωt) együtthatója átrendezve:

R⋅C-vel szorozva

Átrendezéssel

A kimeneti és bemeneti jelek amplitúdójának aránya:

Használjuk fel, hogy

és

Ezzel végül:

A kimeneti és bemeneti jelek amplitúdóinak aránya és a fáziskülönbségük az alábbi módon adható meg:

Átlagérték képzése

Az RC áramkör alkalmas időfüggő jelek átlagértékének közelítésére. Ha az RC áramkör bemenő jele egy átlagérték körül ingadozik, akkor a kimenetén az ingadozás nagysága jóval kisebb lehet, az átlagos értéktől kevésbé tér el. Az áramkör a DC komponenst (azaz az átlagértéket) átengedi, a gyorsabb jelváltozásokat viszont csökkenti.

A következő grafikon egy 1kHz frekvenciájú PWM jel esetére szemlélteti az átlagolási képességet. A PWM jel egy periodikus négyszögjel, melynek a frekvenciája állandó, a kitöltési tényezője (a felső érték időtartamának és a periódusidőnek az aránya) viszont változtatható. Ezzel az átlagérték állítható, kétállapotú (digitális) jellel lehet finoman hangolható hatást létrehozni.

Az átlagos és effektív érték (RMS) az eredeti, szűretlen PWM jelre vonatkozik.

Méretezés

A méretezéshez a gyakorlatban elegendő a maximális ingadozást korlátozni, ami 50%-os kitöltési tényezőnél lép fel. Ha az ingadozás a bemeneti jel amplitúdójához képest kicsi, akkor a kondenzátort közelítőleg állandó áram tölti vagy süti ki, aminek értéke a bemenő jel szélsőértékei közötti különbség fele és az ellenállás hányadosa:

A töltési és kisütési idő a T periódusidő fele, így az ingadozás maximuma jó közelítéssel:

Végül az R⋅C időállandót τ-val jelölve kapjuk, hogy bármely kitöltési tényező esetén igaz, hogy az ingadozás mértéke kisebb, mint

Az ingadozás mértékét gyakran viszonyítják a jel nagyságához, azaz a V_H-V_L értékhez, így a relatív ingadozás értéke

Ez a relatív ingadozás látható % egységekben a fentebbi ábrán.

Részletes számítások

Az alábbi részletes számítás a gyakorlatban általában nem szükséges, ugyanakkor sokat segíthet a folyamat és hasonló számítások alaposabb megértéséhez.

Az ingadozás mértéke pontosan is kiszámítható bármely esetre a következő módon. A töltési fázisban a kondenzátoron mérhető feszültség az alábbi összefüggés szerint változik:

Itt az időllandó τ= R⋅C, és Δt-vel attól a pillanattól mért időt jelöltük, amikor a jel az alsó V_min szinten van és a töltés megkezdődik, azaz amikor a kimeneti jel logikai magas értékre vált.

A kisülési fázisban pedig:

Itt Δt-vel attól a pillanattól mért időt jelöltük, amikor a jel a felső V_max küszöbszinten van és a kisülés megkezdődik, azaz amikor a kimeneti jel logikai alacsony értékre vált.

Ezekből kiszámíthatjuk V_min és V_max értékét, mivel a két érték közt töltéskor és kisüléskor a PWM jel magas illetve alacsony jelszinthez tartozó Δt_H és Δt_L időtartama telik el.

Egyszerűbb alakra hozva:

Ebből kapjuk:

Az ingadozás nagysága:

Mintavételező áramkörök, kapcsolt jelek

A/D konverterek gyakran tartalmaznak mintavevő áramköri részt. A mintavételezéskor a jelet a belső elektronika egy kondenzátorra kapcsolja, ami egy ellenálláson keresztül töltődík fel.

Az A/D konverter előtt multiplexer is lehet, aminek segítségével két vagy több jelek közül kapcsolhatjuk valamelyiket a mintavevő RC áramkörre.

Ez azt jelenti, hogy a kapcsolás után valamennyi időt várni kell ahhoz, hogy a kondenzátoron levő feszültség kellően pontosan elérje a mérendő feszültséget. A legnagyobb lehetséges kezdeti eltérés az A/D konverter V_ref referenciafeszültsége, így ezzel érdemes számolni. A töltöfeszültséget vehetjük tehát V_ref-nek, a kondenzátor kezdeti feszültségét pedig nullának. Jelölje ΔV(t) azt, hogy t idő múlva mekkora az eltérés a V_ref feszültségtől, amihez a kondenzátor feszültsége konvergál. Ebben az esetben t idő elteltével az eltérés aránya a referenciafeszültséghez viszonyítva a τ = R⋅C jelölés használatával:

Ha a konverter b bites, azaz felbontása V_ref/2^b, akkor ΔV-t ennek felére korlátozzuk, azaz ΔV < V_ref/2^b+1. Ekkor tehát:

Ennyi idő elegendő tehát a kellő pontosságú beálláshoz bármekkora bemeneti feszültség esetén.

Az alábbi kalkulátorral kiszámítható ez az idő az A/D konverter felbontásának (bitek számának) függvényében.

bitek száma =

beállási idő =

Szenzorinterfészek

Az RC kör alkalmas rezisztív (pl. termisztor) vagy kapacitív (pl. páratartalom) szenzorok kezelésére. Láttuk, hogy ha a egy kondenzátort V₀ feszültségre kapcsolással tölteni kezdünk egy ellenálláson keresztül, akkor a kondenzátoron a feszültség az alábbi módon változik:

Vizsgálhatjuk a kisülést is. Ha egy V₀ feszültségre feltöltött C kapacitású kondenzátor R ellenálláson keresztül sül ki, akkor a feszültség időfüggése a következő:

A τ = R⋅C időállandót egyszerűen meghatározhatjuk, ha megmérjük, hogy a jel mikor ér el egy bizonyos szintet. Például töltéskor (1-1/e) szeresére, illetve kisüléskor e-ad részére éppen τ idő alatt ér. Ismert ellenállás esetén így kapacitás mérhető, ismert kapacitás esetén pedig ellenállás.

Az alábbi ábrán láthatók a töltési és kisülési folyamat jelei V₀ = 5 V, C = 1 uF, R = 1 kΩ (τ = 0.001 s) esetén. A körök 0.001 s időhöz, illetve 5⋅(1-1/e) ≈ 3.16 V-hoz és 5/e ≈ 1.84 V-hoz tatoznak.

Mikrovezérlőkbe gyakran integrálnak komparátorokat, melyek kimenete logikai 1 értékű, ha a pozitív bemenetükön mérhető feszültség a nagyobb. Ha egy általános célú digitális input/output (GPIO) kivezetést logikai alacsony kimeneti értékűre (≈0 V) programozunk, akkor a kondenzátort kisütjük. Ezt követően logikai magas értéket programozva a kimeneten a V_H feszültség jelenik meg (ami közelítőleg a mikrovezérlő tápfeszültségével egyezik meg), így a kondenzátor töltődik az R ellenálláson keresztül. A rezisztív feszültségosztó azt a feszültséget állítja be, aminek elérésekor a komparátor kimenete átbillen. Így megmérhető az idő, amíg a kondenzátor feszültsége ezt az értéket eléri.

Ha megmérjük az időt, akkor az előző képlet segítségével kiszámíthatjuk a τ időállandót, azaz az R⋅C szorzatot:

Ha a mikrovezérlőbe A/D konverter van integrálva, akkor még egyszerűbb a megoldás, a digitalizált adat szoftveres beolvasásával megállapítható, mikor éri el a kívánt értéket a kondenzátor feszültsége. Ekkor töltési és kisülési folyamat is választható, az előbbi megoldás csak töltés esetén alkalmazható (ellenkező esetben a küszöbszint 0 V lenne).

Időzítő áramkörök

A töltési-kisülési folyamat szintmetszés figyelésével időzítési feladatokra is alkalmas. Ekkor olyan értékűre választjuk a küszöbszintet, amit a jel éppen a kívánt idő alatt ér el.

Monostabil áramkör

Az alábbi áramkörnél a kapcsoló bekapcsolásával a kondenzátort gyorsan feltölthetjük (R_s ≪ R), a kimenetre kötött LED elkezd világítani. Kikapcsolás után a LED egy ideig még világít, aminek időtartamát R,C és a V_t küszöbfeszültség értéke szabja meg.

Késleltetés

A következő áramkör digitális (ugrásszerűen változó) jel késleltetését végzi el. A felfutó él után a kondenzátor töltődni kezd R⋅C időállandóval, így a kimeneti jel annyi idő múlva vált logikai magas értékre, amennyi idő alatt a kondenzátor feszültsége eléri a küszöbszintet. A szintet D/A konverterrel is beállíthatjuk, így programozható késleltetést valósíthatunk meg.

Periodikus jelek generálása

Egyszerűen építhetünk oszcillátort is az RC áramkör felhasználásával, ha két küszöbszintet használunk. Ha töltéskor eléri a kondenzátor feszültsége a felső küszönszintet, akkor kezdjük meg a kisütést. Ha kisülés közben eléri a feszültség az alsó szintet, akkor pedig folytassuk töltéssel. Ezt megoldhatjuk egy úgynevezett Schmitt-triggerrel, ami egy hiszterézissel kiegészített komparátor. Két küszöbszintje van: a felső felett a kimenet logikai magas szintű, az alsó alatt logikai alacsony. Ha a bemeneti jel a kettő szint között van, akkor a kimeneti állapot nem változik, megtartja az előző értékét.

Egy Schmitt-triggerrel felépített oszcillátor látható az alábbi ábrán:

A mechanizmus épp a fentebb leírtnak felel meg. Mivel a kimenet kétféle értéket (V_H és V_L) vehet fel, a V_t segédfeszültséggel és az R₁, R₂ ellenállásokkal beállíthatjuk a kívánt küszönszinteket:

A töltési fázisban a kondenzátoron mérhető feszültség az alábbi összefüggés szerint változik:

Itt Δt-vel attól a pillanattól mért időt jelöltük, amikor a jel az alsó küszöbszinten van és a töltés megkezdődik, azaz amikor a kimeneti jel logikai magas értékre vált.

A kisülési fázisban pedig:

Itt Δt-vel attól a pillanattól mért időt jelöltük, amikor a jel a felső küszöbszinten van és a kisülés megkezdődik, azaz amikor a kimeneti jel logikai alacsony értékre vált.

Ezekből kiszámítható a töltési és kisülési fázisok időtartama is. A töltési szakaszban annyi időnek kell eltelnie, amíg a jel eléri a felső szintet:

Ebből kifejezhető az eltelt idő:

Kisülés esetén annyi időnek kell eltelnie, amíg a jel eléri az alsó szintet:

Az eltelt idő:

A következő grafikon a kondenzátoron mérhető és kimeneti jeleket szemlélteti az idő függvényében. A küszöbszinteket piros vonalak mutatják.

Küszöbszintek helye

Küszöbszintek távolsága

Az 555 időzítő áramkör

Egy elterjedt analóg időzítő áramkör az 555 integrált áramkör (eredeti nevén NE555, de létezik LM555, TLC555 változatként is). Az áramkör két komparátort, egy SR tárolót, kimenettel vezérelt kapcsolót és pár kiegészítő áramköri részt tartalmaz. Egy belső feszültségosztó előállítja a tápfeszültség 2/3 és 1/3 részét is. A működési elve kondenzátor ellenálláson keresztüli töltésén és kisütésén alapul, melyet sokféle módon lehet konfigurálni. Ezek közül kettőt mutat be a következő rész.

Részletes leírás, további üzemmódok bemutatása is látható az áramkör összefoglaló oldalán.

Astabil mód

Az alábbi ábra egy alkalmazást mutat be, mely oszcillátorként (astable operation) működik:

A komparátorok a kondenzátoron levő feszültséget hasonlítják össze a V_S tápfeszültség 2/3 és 1/3 részével. Ha S1 nyitva van, akkor a kondenzátor az R1 és R2 ellenállásokon keresztül töltődik. Ha a kondenzátor feszültsége eléri a 2/3⋅V_S szintet, akkor az A1 komparátor kimenete logikai magas szintre vált és az SR tárolót törli, a kimenet logikai alacsony szintre (0 V-hoz közeli értékre) kerül. Ez egyben bekapcsolja az S1 kapcsolót, ami a kondenzátort elkezdi kisütni R2-n keresztül. Ha a kondenzátor feszültsége 1/3⋅V_S szintre csökken, akkor az alsó komparátor kimenete vált magas szintre és a tárolóba is magas érték kerül. Ekkor S1 kikapcsol és újra töltődni kezd a kondenzátor.

A töltési fázisban a kezdeti feszültség 1/3⋅V_S, a töltőfeszültség V_S, így a kondenzátoron eső feszültség az alábbi összefüggéssel adható meg:

ahol a τ időállandó értéke (R₁+R₂)⋅C. A töltés addig tart, amíg a feszültség el nem éri a 2/3⋅V_S szintet, azaz:

Ebből kapjuk:

Végül a töltési idő értéke:

A kisütési fázisban az R2 ellenálláson keresztül sül ki a kondenzátor 2/3⋅V_S szintről 1/3⋅V_S szintig. Ennek megfelelően

Az időállandó ebben a fázisban R₂⋅C, így a kisülési fázis időtartama:

Végül a periódusidő:

A következő grafikonon piros vonal a küszöbszinteket, kék a kondenzátoron eső feszültséget, fekete a kimeneti jelet mutatja. A kondenzátor kapacitása 10 nF, mindkét ellenállás értéke 100 kΩ.

Monostabil mód

Ebben az üzemmódban egy indítójellel tudunk létrehozni a kimeneten egy adott szélességű impulzust az alábbi áramkörrel:

A Vtr feszültség alapértelmezetten logikai magas értékű, azaz nagyobb, mint 1/3⋅V_S. A kimenet logikai alacsony szintű és az S1 kapcsoló vezet, ezért a kondenzátoron eső feszültség gyakorlatilag zérus. Ha Vtr logikai alacsony szintre vált, akkor a tárolóba logikai magas érték kerül, a kondenzátor elkezd töltődni az alábbi összefüggésnek megfelelően:

A töltés addig tart, amíg a feszültség el nem éri a 2/3⋅V_S értéket:

Ebből kapjuk:

átrendezve

A töltési idő ennek alapján:

A kimeneten tehát ilyen széles impulzus jelenik meg, amikor a Vtr triggerjel logikai alacsony értékre vált. Ezt mutatja a következő ábra:

A bemeneti jelhez szürke, a küszöbszinthez piros, a kondenzátorok eső feszültséghez kék, a kimeneti jelhez fekete vonal tartozik. A kondenzátor kapacitása 10 nF, az ellenállás értéke 100 kΩ.