Hálózatok felépítése, számítási alapok

Az elektronikai hálózatok alkatrészekből állnak, melyeket vezetékek kötnek össze. Minél több alkatrészt használunk fel, annál többféle hálózatot építhetünk meg. Akkor tudjuk leírni egy hálózat működését illetve akkor tudunk tervezni a kívánalmaknak megfelelően működő hálózatot, ha ismerjük, hogyan viselkednek az alkatrészek és tudjuk azt is, hogy az összekötések hatása milyen törvényszerűségekkel jellemezhető.

• Hálózati elemek
• Csomópontok
  • Több vezeték vagy alkatrész csatlakozási pontja
  • két csomóponthoz feszültséget rendelhetünk (potenciálkülönbség, feszültségkülönbség)
  • egy csomóponthoz feszültséget rendelhetünk, ha van egy referenciapont (tipikusan földpont)
• Ágak (szomszédos csomópontok közötti szakaszok), áramot rendelünk hozzájuk
• Mennyiségek, melyeket kiszámítunk: feszültségek, áramok.
• Két kivezetéssel rendelkező alkatrészekhez rendelhető
  • Feszültségesés (végpontjai közt mérhető feszültség/feszültségkülönbség): V vagy U
  • Átfolyó áram: I
  • Ezek összefüggése: \(V(I)\) vagy \(I(V)\)
• Egyenletek
  • Alkatrészeket leíró törvények, feszültség-áram
  • Áramok összegzési törvényei: csomópontba befutó áramok összeadódnak
  • Feszültségek összegzési törvényei: sorba kapcsolt alkatrészeken a feszültségek összeadódnak (a feszültség additív mennyiség)
• Ideális áramköri elemekkel, törvényekkel számolunk
• Reális alkatrészek
  • az ideálistól valamennyire eltérően viselkednek
  • ideális alkatrészek kombinációjával pontosabban modellezhetőek
  • a tervezéskor ügyelni kell arra, hogy a működés minél kevésbé függjön az alkatrészek egyedi tulajdonságaitól

Bár feszültség mindig két csomópont között mérhető, gyakran a csomópontokhoz is rendelünk feszültséget:

Ilyen esetben feltételezünk egy 0 V feszültségű pontot, akkor is, ha közvetlenül nem jelöljük. Az egyes csomóponti feszültségeket használjuk fel csomópontok között fellépő feszültség jellemzésére. A példában a két csomópont között mérhető feszültség VA-VB, ha a felső pont feszültségét tekintjük pozitívabbnak.

Kevésbé elterjedten használnak csomópontok közötti feszültség leírására nyilat is, melynek csúcsa a negatívabbnak feltételezett pontra mutat:

V3 ebben a példában tehát a két csomópont között mérhető feszültséget jelenti azzal, hogy a felső kivezetést tekintjük pozitívabbnak.

Az áram jelölése a vezetékre rajzolt nyíllal történik, iránya a technikai áramiránnyal egyezik meg:

Néha a nyíl a vezetéktől elkülönül:

A következő rész a legalapvetőbb építőelemeket mutatja be. Az elektronikában elterjedten használt további komponenseket, részhálózatokat gyakran modellezünk ezekkel az alkatrészekkel. Kondenzátorok, induktivitások megfelelő matematikai módszerekkel ugyanúgy kezelhetők, mintha ellenállások lennének, a tranzisztorok vezérelt generátorokkal írhatók le, műveleti erősítők bemenete feszültségmérőként, kimenetük feszültséggenerátorként viselkedik.

Hálózatok alapvető építőelemei

Vezeték

• Két kivezetéssel rendelkezik
• Nincs feszültségesés, bármekkora áram folyhat rajta
• Feszültség - áram összefüggés: \(V(I)=\text{0 V}\)
• Az áram értékét az áramkör többi része határozza meg
• Reális vezeték
  • Egyszerű esetben elég kis ellenállásként kezelni.
  • Speciálisabb esetek: induktivitás, kapacitás más vezetékekkel, ...
• Alkalmazási területek
  • Alkatrészek összekötése
  • Jó vezetők reprezentálása (melyek ellenállása elhanyagolhatóan kicsi)

Elterjedt rajzjelek:

Szakadás

• Két kivezetéssel rendelkezik
• Nem folyik áram, bármekkora feszültség eshet rajta
• Feszültség - áram összefüggés: \(I(V)=\text {0 A}\)
• Az feszültség értékét az áramkör többi része határozza meg
• Reális szakadás
  • Egyszerű esetben elég nagy ellenállásként kezelni.
  • Speciálisabb esetek: kapacitás
• Alkalmazási területek
  • Feszültségmérők bemenete
  • Áramkörök feszültségbemenetei
  • Jó szigetelők reprezentálása (melyek vezetőképessége elhanyagolhatóan kicsi)

Elterjedt rajzjelek:

Feszültséggenerátor

• Két kivezetéssel rendelkezik
• A kivezetései közötti feszültség nem függ a terheléstől, ki- vagy befolyó áramtól
• Feszültség - áram összefüggés: \(V(I)=V_G\)
• Az áram nagysága és iránya bármilyen lehet, értékét az áramkör többi része határozza meg
  • ha az áram a pozitív kivezetésből kifelé folyik, akkor a generátor energiát ad le
  • ha az áram a pozitív kivezetésbe befelé folyik, akkor a generátor energiát vesz fel
  • a gyakorlatban nem minden feszültségforrás képes energiát felvenni
• Speciális eset: ha V_G = 0 V, akkor vezetékként viselkedik. Ez főleg akkor fontos, ha hatását ki szeretnénk iktatni az áramkör megváltoztatása nélkül, pl. a szuperpozíció tételének alkalmazásakor.
• Fontos a polaritásának figyelembe vétele.
• Reális generátor:
  • Egyszerű esetben sorba kötött ellenállással, impedanciával modellezhetjük.
  • A soros komponenst kimeneti impedanciának, belső ellenállásnak/impedanciának is nevezik.
  • A generátor áramkorláttal rendelkezik.
  • Gyakran csak áramot adnak, áramot felvenni kevésbé tudnak, azaz más tulajdonságokkal rendelkeznek ki- és befolyó áramok esetén.
• Alkalmazási területek
  • Tápfeszültségek reprezentálása
  • Jelforrások, bizonyos szenzorok kimeneti jeleinek reprezentálása
  • Áramkörök, részáramkörök kimeneti jeleinek reprezentálása

Elterjedt rajzjelek:

Áramgenerátor

• Két kivezetéssel rendelkezik
• Az áram nem függ a terheléstől, a kapocsfeszültségtől
• Feszültség - áram összefüggés: \(I(V)=I_G\)
• A kapocsfeszültség nagysága és polaritása bármilyen lehet, értékét az áramkör többi része határozza meg
  • ha a kifolyó áram kivezetése pozitívabb feszültségű, akkor a generátor energiát ad le
  • ha a kifolyó áram kivezetése negatívabb feszültségű, akkor a generátor energiát vesz fel
  • a gyakorlatban nem minden áramforrás képes energiát felvenni
• Speciális eset: ha I_G = 0 A, akkor szakadásként viselkedik. Ez főleg akkor fontos, ha hatását ki szeretnénk iktatni az áramkör megváltoztatása nélkül, pl. a szuperpozíció tételének alkalmazásakor.
• Fontos az áram irányának figyelembe vétele.
• Reális generátor:
  • Egyszerű esetben párhuzamosan kötött ellenállással, impedanciával modellezhetjük.
  • A párhuzamos komponenst kimeneti impedanciának, belső ellenállásnak/impedanciának is nevezik.
  • Korlátozott feszültségtartományban működik.
  • A feszültség polaritása korlátozódhat egyféle értékre.
• Alkalmazási területek
  • Kiemelten fontos szerepe van a tranzisztorok hálózatelméleti modelljeinek megadásánál
  • Áramkörök, részáramkörök kimeneti jeleinek reprezentálása
  • Jelforrások, bizonyos szenzorok kimeneti jeleinek reprezentálása

Elterjedt rajzjelek:

Vezérelt generátorok

A vezérelt generátorok gyakran használatosak aktív áramköri elemek (például tranzisztorok, erősítők) leírására, melyek valamilyen energiaforrás segítségével képesek egy bementi jel által meghatározott kimeneti áram vagy feszültség generálására. Sokféle vezérelt generátor létezik, az alábbiak a legfontosabbakat mutatják be.

• Négy kivezetéssel rendelkező vezérelt generátorok (négypólusokként kezelhetők):
  • A bemeneti oldaluk leggyakrabban szakadás vagy rövidzár, de ettől eltérő (például ellenállás) is lehet.
  • A kimenetük ideális vagy reális feszültség- vagy áramgenerátor.
• A kimeneti jel értékét a bementi jel értéke határozza meg adott függvény szerint. A kapcsolat gyakran lineáris.
• Négy elterjedten használt eset:
  • feszültségvezérelt feszültséggenerátor
  • áramvezérelt feszültséggenerátor
  • feszültségvezérelt áramgenerátor
  • áramvezérelt áramgenerátor
• Alkalmazási területek
  • Alkatrészek, áramkörök bemeneti és kimeneti részeinek reprezentálása, működésük leírása.
  • Tranzisztorok, szenzorok, egyéb komponensek reprezentálása.

Elterjedt rajzjelek:

Voltmérő, feszültségmérő

• Elv: nem szabad az áramkör működését befolyásolnia
• Két kivezetéssel rendelkezik
• Az áramkör két pontjára kötjük az áramkör megbontása nélkül. Alkatrészen eső feszültség mérésekor az alkatrésszel párhuzamosan kell kötni.
• Feszültség - áram összefüggés: \( I(V)=\text {0 A} \)
• Szakadásként viselkedik, nem folyik rajta keresztül áram, így nem befolyásolja az áramkör működését.
• A feszültség nagyságát és előjelét is méri, pozitív és negatív kivezetéssel rendelkezik.
• Reális voltmérő:
  • Egyszerű esetben párhuzamosan kötött ellenállással, impedanciával modellezhetjük.
  • A párhuzamos komponenst bemeneti impedanciának, belső ellenállásnak/impedanciának is nevezik.
• Alkalmazási területek
  • Mérőműszerek reprezentálása
  • Áramkörök bemenetének reprezentálása

Ampermérő, árammérő

• Elv: nem szabad az áramkör működését befolyásolni
• Két kivezetéssel rendelkezik
• Vezetéken, alkatrészen átfolyó áram mérésére használjuk
• A vezetéket megbontva, az alkatrésszel sorba kötjük.
• Feszültség - áram összefüggés: \(V(I)=\text{0 V}\)
• Rövidzárként, vezetékként viselkedik, nem esik rajta feszültség, így nem befolyásolja az áramkör működését.
• Az áram nagyságát és irányát is méri. Az áramérték pozitív, ha a pozítív kivezetésbe folyik be és a negatív kivezetésből folyik ki az áram. Ez a technikai áramirány, azaz a pozitív töltéshordozók mozgási iránya.
• Reális ampermérő:
  • Egyszerű esetben sorosan kötött ellenállással, impedanciával modellezhetjük.
  • A soros komponenst belső ellenállásnak/impedanciának is nevezik.
• Alkalmazási területek
  • Mérőműszerek reprezentálása
  • Áramkörök bemenetének reprezentálása

Ellenállás

• Két kivezetéssel rendelkezik
• Feszültség - áram összefüggés: \(V(I)=R \cdot I\)
• Ohm törvénye: az ellenálláson eső feszültség arányos a rajta átfolyó árammal. Az arányossági tényező az R ellenállás.
• Az áram a pozitívabb feszültségű kivezetéstől a negatívabb feszültségű felé folyik. Ez felel meg a technikai áramiránynak.
• Reális ellenállás:
  • Egyéb komponensek: induktivitás, kapacitás.
  • Hőmérsékletfüggés, feszültségfüggés, zajfeszültség, öregedés, stb.
• Alkalmazási területek
  • Fogyasztók reprezentálása
  • Áramkorlátozás
  • Feszültségosztás
  • Áramosztás
  • Árammérés, áram-feszültség átalakítás
  • Áramkörök működési paramétereinek beállítása
  • Szenzorok reprezentálása

Elterjedt rajzjelek:

Földelési pont

• Egyetlen kivezetéssel rendelkezik.
• Az áramkörök feszültségeinek viszonyítási pontja: minden csomópont feszültségét ehhez képest mérjük. Így lehetséges egy csomópont feszültségét értelmezni.
• Általában az áramkörök tápfeszültségének nullpontjával azonos.
• Bizonyos áramköröknél, eszközöknél össze van kötve a védőföldeléssel is (pl. oszcilloszkóp).
• Gyakorlatilag a legtöbb áramkör esetén definiált, használatos, de lehetnek kivételek is.

Elterjedt rajzjelek:

Földeletlen (földfüggetlen) komponensek

• A komponensek egyik kivezetése sincs a földponttal kötelezően összekötve. Olyanok, melyeknél a kivezetéseiket az áramkör bármely pontjára köthetjük.
• Feszültséggenerátorok
  • Lebegő (floating) feszültségforrásnak is nevezik.
  • Az áramkör bármely pontjára köthetők, tetszőleges polaritással köthetők be, sorba is köthetők.
  • Példák: elemek, akkumulátorok, földeletlen fali adapterek, fényelemek.
• Áramgenerátorok
  • Az áramkör bármely pontjára köthetők, tetszőleges polaritással köthetők be.
  • Példák: fotodiódák, áramkimenetű hőmérsékletszenzorok, földfüggetlen áramforrások.
• Voltmérők, árammérők
  • Az áramkör bármely pontjára, tetszőleges polaritással köthetők be.
  • Példák: digitális multiméterek.
• Fogyasztók, terhelések
  • Az áramkör bármely pontjára köthetők. Lehetnek ohmikusak (ellenállással reprezentálhatók) vagy más komponenssel (pl. diódával) leírhatók.
  • Példák: ellenállások, motorok, hangszórók tekercsei, izzók, LED-ek.

Földelt (földfüggő) komponensek

• A komponensek egyik kivezetése a földponttal megbonthatatlanul össze van kötve.
• Feszültséggenerátorok
  • Az ilyen generátoroknak csak az egyik kivezetését köthetjük szabadon az áramkör különböző pontjaira.
  • Gyakran a földelési pont is ki van vezetve, de azt csak az áramkörünk földpontjára köthetjük.
  • A földelt generátorokat nem köthetjük sorba, nem növelhetjük így a feszültséget.
  • A földelt generátorokat nem köthetjük be fordított polaritással földelt áramkörökbe.
  • Példák: hálózati feszültség, földelt asztali tápegységek, USB tápfeszültség, autók akkumulátora (testpontra kötés esetén).
• Áramgenerátorok
  • Az egyik kivezetésük földelt, így csak egyik kivezetésüket köthetjük be szabadon.
  • Az áram csak a földpont felé vagy onnan kifelé folyhat, nem folyhat két tetszőleges áramköri pont között.
  • Példák: tranzisztoros, integrált áramkörös áramgenerátorok, áramkimenetű D/A konverterek.
• Voltmérők, árammérők
  • Az ilyen műszereknek csak az egyik kivezetését köthetjük szabadon az áramkör különböző pontjaira.
  • A földelési pont is ki van vezetve, de azt csak az áramkörünk földpontjára köthetjük.
  • A földelt műszereket nem köthetjük be fordított polaritással földelt áramkörökbe.
  • Példák: oszcilloszkóp, áramörök feszültségbemenetei, mikrovezérlők analóg bemenetei.
• Fogyasztók, terhelések
  • Áramörök bemeneti fokozatai és más terhelések is lehetnek földfüggők, azaz a 0 V-hoz képest mérhető feszültség működteti őket, az áramkör lényegében a földponton keresztül záródik.
  • Példák: áramköri fokozatok bemenetei, földelt LED-ek, motorok.

Áramköri példák

Lebegő generátorok, földeletlen áramkör

Az alábbi áramkör esetén nincs kijelölt földpont. Ebben az esetben csak két csomópont közötti feszültségkülönbségekről beszélhetünk. A generátorok lebegők, földfüggetlenek.

Bár minden alkatrész kivezetésein látható csomópont, vezetékkel összekötöttek, azonos potenciálon vannak, így összevonhatók:

A hálózatszámítások során elhagyhatók azok a csomópontok, melyeknél nincs elágazás, az áram az ilyen ágakhoz tartozó minden komponens esetén ugyanakkora. Végül csak két csomópont marad a hálózatban:

A B és H csomópontok közötti feszültségkülönbség háromféleképp írható fel, megegyezik

• az R₁,V_G1 és R₄ alkatrészeken eső feszültségek összegével
• a V_G2 és R₂ alkatrészeken eső feszültségek összegével
• a V_G3 és R₃ alkatrészeken eső feszültségek összegével

Kiszámítani tehát csak a B és H csomópontok közötti feszültséget és a három ághoz tartozó áramot szükséges. Ezekből az áramkör bármely alkatrészén és vezetékén folyó áram és bármely két pont közötti feszültség kiszámítható.

Lebegő generátorok, referenciaponttal (földponttal)

Célszerű kijelölni egy vonatkoztatási pontot is, amihez minden csomópont feszültségét viszonyítjuk:

Ebben az esetben beszélhetünk egy csomópont feszültségéről. A B csomópont V_B feszültsége tehát a földponthoz, azaz a kiválasztott 0 V-os ponthoz képest mérendő. A 0 V kijelölése nem feltétlen jelent tényleges földelést (a Földhöz kötést, védőföldelést), elemes áramköröknél is tipikus az elnevezés és kijelölés használata, egyszerűbbé teszi az áramkörök kezelését.

Hálózatok földelt generátorokkal, földponttal

Ha a generátorok nem lebegők, azaz minden generátor egyik kivezetése közös pontra van kötve, amit nem változtathatunk meg, akkor ezt a közös pontot választjuk az áramkör földpontjának. A fentebbi áramkör V_G1 generátora nem teljesíti ezt a feltételt, így csak lebegő lehet.

Előfordul, hogy a földpontokat több helyre tesszük azért, hogy vezetékeket hagyhassunk el. Természeseten minden csomópont összekötöttnek tekintendő, ami földpontra van kötve. A generátorok, mérési pontok helyett gyakran csak egy címkével ellátott vezetéket használunk, tudjuk, hogy a feszültség a földponthoz képest értendő.

Az áramkör működése dönti el, hogy melyik pont bemeneti és melyik kimeneti. Ezt tudnunk kell ahhoz, hogy az áramkört megfelelően kezelhessük.

Az alábbi áramkör egy feszültségosztó, melynek célja az, hogy a bemeneti feszültséggel arányos, de kisebb kimeneti feszültséget biztosítson. Ezzel implicit módon megadjuk azt is, melyik pont bemeneti és melyik kimeneti. Erre az áramkörre tehát V_in feszültséggenerátor, V_out csak egy mérési pont. A jobboldali az ennek megfelelő teljes elrendezést mutatja.

Ha nem adjuk meg vagy explicit vagy implicit módon, hogy melyik címke mit jelent, akkor nem egyértelmű, hogy bemeneti vagy kimeneti a csomópont.

Alapvető törvények

Ohm törvénye

Az ellenálláson eső feszültség megegyezik az ellenállás értékének és a rajta átfolyó áramnak a szorzatával: \( V(I)=R \cdot I \) .
Az áram a pozitívabb feszültségű kivezetéstől a negatívabb feszültségű felé folyik. Ez felel meg a technikai áramiránynak.

Kirchhoff csomóponti törvénye

Egy csomópontba befolyó áramok összege megegyezik a kifolyó áramok összegével.

Másik megfogalmazás: a csomópontba befolyó áramok algebrai összege nulla. A kifolyó áramok előjele negatív.

Tetszőlegesen felvehetjük az áramok irányát (negatív lesz a számítás után, ha nem a valóságost vettük fel)

vagy:

Kirchhoff huroktörvénye

Egy zárt áramköri hurokban az áramköri elemeken eső feszültségek összege nulla.

A törvény egyszerűen abból következik, hogy a sorba kapcsolt alkatrészeken eső feszültségek összeadódnak. Minden alkatrészen eső feszültség előjelét a körüljárási irányhoz viszonyítjuk, ahogy az alábbi ábrán kiválasztott hurok esetén láthatjuk. A voltmérők pozitív kivezetése az óramutató járásának irányába esik.

Ebbe behelyettesítve a generátorokon és ellenállásokon eső feszültségeket a következőt kapjuk:

Az ellenállásokra kötött voltmérők negatív értéket mutatnak, ha az áram a felvett iránynak megfelelő. Ha ez a valóságban nem így lenne, akkor az áramra negatív értéket fogunk kapni a számítások során. Látható, hogy a harmadik műszer is negatív értéket mutat, mivel a generátorra ellentétes polaritással van kötve.

Jobban érthető a törvény, ha máshogy rajzoljuk le az áramkört. A felső voltmérő a négy voltmérő által mért feszültségek összegét méri. A kivezetéseit egy vezeték köti össze, így 0 V-ot mutat.

Egy voltmérő használatával is szemléltethetjük a törvényt. A voltmérő negatív kivezetését egy kiválasztott pontra kötjük és itt is hagyjuk. A pozitív kivezetést a körüljárási iránynak megfelelően mindig a szomszédos csomópontra mozgatjuk. Az alábbi ábrán az első lépés látható, a voltmérő az első alkatrészen eső feszültséget méri.

A második lépés során a voltmérő az első és második alkatrészen eső feszültségek összegét méri.

A harmadik lépés során a voltmérő az első, második és harmadik alkatrészen eső feszültségek összegét méri.

Az utolsó lépésben a voltmérő a hurokhoz tartozó összes alkatrészen eső feszültségek összegét méri. Mivel a voltmérő mindkét kivezetése azonos pontra kerül, a mért feszültség 0 V.

Kirchhoff huroktörvényének másik alakja

Egy zárt áramköri hurokban a generátorok által létrehozott feszültségek összege megegyezik a passzív komponenseken eső feszültségek összegével.

Gyakran praktikusabb a törvényt ebben az alakban használni. Ebben az esetben ellentétes körüljárási iránynak megfelelően kell alkalmazni a generátorokra kötött voltmérőket és a passzív alkatrészekre kötött voltmérőket.

A legegyszerűbb esetben egy generátort és egy ellenállást használunk. Az áramkörben ugyanaz az áram folyik minden alkatrészen, nincs elágazás sem. A két voltmérő ellentétes körüljárási iránynak megfelelően van bekötve, nyilvánvaló, hogy azonos értéket mutatnak. Az áram a generátor pozitív kivezetése felől a negatív felé folyik, így az ampermérő is pozitív értéket jelez ki. Az ellenálláson az Ohm-törvénynek megfelelően az áram a pozitívabb feszültségű kivezetésétől a negatívabb felé folyik.

Az egyenlet tehát:

vagyis:

A fentebbi, négy komponenst tartalmazó hurok esetén az alábbi elrendezést kell használnunk:

A törvény szerint:

Ebbe behelyettesítve a generátorokon és ellenállásokon eső feszültségeket a következőt kapjuk:

Az ellenállásokra kötött voltmérők pozitív értéket mutatnak, ha az áram a felvett iránynak megfelelő. Ha ez a valóságban nem így lenne, akkor az áramra negatív értéket fogunk kapni a számítások során. Látható, hogy a harmadik műszer is negatív értéket mutat, mivel a generátorra ellentétes polaritással van kötve.

Az alapvető törvények helyes alkalmazása

Az eddigiekben az alapvető alkatrészek működésének leírását és hálózatba kötésük törvényszerűségeit láttuk. Három alapvető komponens és két hálózatokra vonatkozó törvény ismerete már elég is a legtöbb esetben. Ezek igen egyszerűek, mégis problémát szokott okozni a gyakorlati használatuk. A következőkben ezért kiemeljük, mire kell figyelni a helyes alkalmazásukhoz. Úgy foglalhatjuk össze: mindig ragaszkodjunk az alapokhoz, ne zavarjon meg sosem az, hogy egyébként bonyolult a hálózat. Az elektronika ismerete enélkül nem lehet elegendő.

A továbbiakban is ideális áramköri komponenseket feltételezünk.

Az alkatrészeket leíró törvények helyes használata

Az egyik alapvető megállapítás:

Ha tehát látunk egy áramköri komponenst, akkor teljesen mindegy, milyen további elemek kapcsolódnak hozzá, az alkatrész működését leíró törvény ugyanaz bármilyen esetben.

A generátorok törvényeinek helyes alkalmazása

A generátorok viselkedése a lehető legegyszerűbb matematikai leírással adható meg: az értékük nem függ az áramköri környezettől. Bármilyen áramköri részben látjuk ezeket, ennek teljesülnie kell.

Ha ez valamiért nem lehet érvényes egy adott áramkörre, akkor az az áramkör szabálytalan (irregular circuit), nem oldható meg. Milyen eset lehet ilyen?

Példák generátorok szabályos és szabálytalan bekötésére

Az alábbi példa zavart okozhat: ráköthetünk egy áramgenerátort egy feszültséggenerátorra? Bármilyen polaritással? Nem vezet ez ellentmondáshoz?

Egyszerű a válasz: a kapocsfeszültséget állandó értéken tartja a feszültséggenerátor, az áramgenerátor viszont adott értékű és irányú áramot hoz létre. Ezek nem mondanak egymásnak ellent, mindkét alkatrészre teljesül a leíró törvény, tehát működőképes a kapcsolás.

Az alábbi példák mutatják meg, mi vezet ellentmondásra:

Ha ilyet látunk, akkor az ideális esetben is hibás az áramkör, nem teljesülhetnek a működést leíró törvények.

Az természetesen megengedett, hogy feszültséggenerátorokat sorosan, áramgenerátorokat párhuzamosan kössünk:

és akkor sincs ellentmondás, ha feszültséggenerátorok között ellenálás van, az áramgenerátork között pedig elágazás

Az Ohm-törvény helyes alkalmazása

Az Ohm-törvény is igen egyszerű, általános iskolai tananyag, ennek ellenére hibát követhetnek el még magasabb képzési szinten is. Nézzük az alábbi eseteket.

A feladat: alkalmazzuk az Ohm-törvényt az R1, az R3 és az R4 ellenállásra! De nem tudjuk még, mik a további áramköri elemek és hogyan működnek. Nem számít, az Ohm-törvény ezektől függetlenül érvényes. Tehát elég ennyit nézni:

Azaz:

Nem ritkán látni olyan hibát, hogy az első egyenlet helyett \(V_1=I_1 \cdot R_1\) szerepel. Ennek oka a \(V=I \cdot R\) képlet gépies alkalmazása, ami csak akkor az Ohm-törvény, ha tudjuk, hogy mi a V jelentése. Mindkét kivezetésen levő feszültség kell az Ohm-törvényhez. Az előjellel is előfordul probléma: itt azt kell tudni, hogy az áram az ellenálláson keresztül a pozitívabbtól a negatívabb feszültségű kivezetés felé folyik.

Természetesen a teljes áramkör működésének leírásához kell a többi áramköri komponens kezelése is.

Nézzünk még egy többeket zavarba hozó, mégis nagyon egyszerű esetet is! A bal oldali áramkörnél nincs gond, a kivezetések közötti feszültség értéke V1. De mi a helyzet a jobb oldali áramkörrel?

Nincs más dolgunk, mint az alapokat elővenni. Világos, hogy a kivezetések között a feszültség megegyezik a generátoron és ellenálláson eső feszültségek összegével, hiszen sorba vannak kapcsolva. Az egyiket tudjuk: V1. De a másikat is tudjuk: 0 V, hiszen az ellenálláson nem folyik áram.

Az alkatrészek összekötését leíró törvények helyes alkalmazása

A hálózati összekötések kezeléséhez két törvényt használunk, de ezek tulajdonképpen még egyszerűbb alapokkal rendelkeznek: az áram és a feszültség is additív mennyiség.

Az áram additivitása

A csomóponti törvényt a tapasztalatok alapján magabiztosan szokták ismerni és használni: egy csomópontba befolyó áramok összege megegyezik a kifolyó áramok összegével.

Könnyen érthető, hogy az áramok összegződnek, ha egy csomópontba futnak be. Egy speciális eset mégis okozhat zavart, mert elbizonytalanító lehet az alkatrészek különböző viselkedése. Erre mutat példát az alábbi részlet:

Állapítsuk meg az ismert törvényszerűségek alapján:

Ebből a szempontból teljesen mindegy, hogy az alkatrészek hogyan viselkednek. Lehet köztük akár szakadás is? Természetesen, akkor nem fog áram folyni egyik komponensen sem - azaz az áram 0 A.

Érdemes még egy dolgot ehhez hozzátenni. Mindegy, milyen sorrendben vannak az alkatrészek, ha nincsen a csatlakozási pontjaikból elágazás, akkor a végpontok közötti feszültség és átfolyó áram a sorrendtől nem függ. Például:

A két áramkörben az áramot ugyanúgy számíthatjuk:

A feszültség additivitása

A huroktörvény tulajdonképpen egy speciális esete annak, hogy a feszültség additív mennyiség. Az additivitás igaz akkor is, ha nem zárt hurkot veszünk. Nézzük ezt meg az alábbi áramkörre:

Példaként válasszunk ki két csomópontot, az A és H jelűt! Teljesen mindegy, hogyan választjuk ki azokat a komponenseket, melyeken keresztül össze van kötve a két csomópont, mindig igaz, hogy az alkatrészeken eső feszültségek összege megegyezik a végpontok között mérhető feszültségkülönbséggel.

Ennél a piros vonallal jelzett esetnél az R4, R5 és R10 ellenállásokon eső feszültségek összege adja ezt ki:

az alábbinál pedig a V1, R2, R13, R11 és R10 alkatrészeken eső feszültségek összege:

Mindig alkalmazzuk egyszerűen és magabiztosan:

Az áram elágazhat, de ez nem érinti a feszültség additív tulajdonságát.

Numerikus számítási módszerek

Hiába alkalmazzuk helyesen az áramköröket leíró törvényeket és írjuk fel jól az egyenleteket, a végeredmény nem lesz jó, ha nem jól végezzük el a konkrét értékekkel a számításokat.

A számításokhoz is adhatunk meg olyan követendő elveket, melyek esetén kicsi a hibázás valószínűsége. Az alábbi lépéseket célszerű követni:

Részeredményeket lehet numerikusan kiszámolni, de csak akkor érdemes, ha túl bonyolult lenne egyébként az összefüggés a végeredményre. Ilyen lehet például eredő ellenállás kiszámítása.

Numerikus részeredményeket ne kerekítsünk, mert halmozódhat a hiba. Ha például 10/3-10/3,1 értékét először kiszámítjuk az elérhető pontossággal, majd az eredményt 3 jegyre (<1 % pontosságúra) kerekítjük, akkor 0,108-at kapunk. De ha 10/3-ot és 10/3,1-et külön kiszámítjuk, kerekítjük 3 jegyre, majd különbséget veszünk, akkor 0,1 adódik, aminek a hibája 7%-nál nagyobb.

Kerülni kell az SI prefixumokat is a számoláskor, például a 15 kΩ⋅5 µA szorzatot-ot jobb 15⋅10³ Ω⋅5⋅10^-6 A formában használni. Sokkal biztonságosabb a kitevőben levő értékekkel számolni, mint betűjelekkel.

Nagy előnye a képleteknek az is, hogy az előjelek kezelése biztonságosabb. Ha például egy áram értéke negatív, akkor majd a numerikus érték behelyettesítésekor használjuk ezt fel, ne próbáljuk meg a felvett áramiránnyal ellentétes módon alkalmazni például az Ohm-törvényt.

A numerikus számításokhoz kalkulátor helyett érdemes táblázatkezelő programot használni, ahol cellákba tehetők a bemeneti értékek, képletek írhatók, a részeredmények teljes pontossággal számítottak, hiba esetén nem kell újra kezeni a teljes számítást.

Az eredményeket érdemes áramkörszimulációval ellenőrizni.

Példa - Előjel és SI egységek használata

Ha V₁ értéke -200 mV, az ellenállásé 10 kΩ, akkor tudjuk, hogy az áram nem úgy fog folyni, ahogy az irányítás mutatja. Ettől függetlenül az ábrán jelölt polaritásnak és áramiránynak megfelelően kell felírni a törvényt:

Behelyettesítjük az SI egységekbe átváltott értékeket:

Ha az áramot mA egységekben kell megadni, akkor az Amperben megadott értéket 10³-nal kell megszorozni:

Példa - Ohm-törvény negatív értékekkel

A következő példában legyen V₁=-7 V, V₂=-3 V, R₁=1 kΩ. Milyen értéket mutatnak a mérőműszerek?

A műszerek nincsenek hatással az áramkörre, a feszültségmérőt szakadással, az árammérőt vezetékkel helyettesítjük. Az Ohm-törvény szerint:

Az ampermérőt is úgy kötöttük be, hogy akkor mutat pozitív értéket, ha jobbra folyik az áram. Számítsuk akkor ezt ki numerikusan is:

A voltmérő esetén pedig:

Példa - negatív feszültséggenerátorok és ágban folyó áram

Legyen az alábbi áramkörben V₁=-5V, V_M=-2V, R₁=1 kΩ és R₂=3 kΩ. A kérdés az, hogy mekkora V₂ értéke.

A felvett irány szerint R₁-re alkalmazva az Ohm-törvényt:

Mivel mindkét ellenálláson ekkora az áram, így

Végül fejezzük ki a keresett mennyiséget ezekkel:

Helyettesítsük be a számértékeket: