Eredő ellenállás, helyettesítő kapcsolások

Egy ellenállásokat tartalmazó, két kivezetéssel rendelkező áramkör vagy áramkörrész helyettesíthető egyetlen ellenállással, amit eredő ellenállásnak vagy ekvivalens ellenállásnak nevezünk. Az egyszerűbb számolások segítésére több ellenállásból álló áramköri részt gyakran ekvivalensnek tekintünk kevesebb vagy kedvezőbb módon elrendezett ellenállások hálózatával.

Ellenállások soros eredője

• Két ellenállás sorosan van kapcsolva és eredő ellenállással helyettesíthető, ha csak egy kivezetésük van összekötve, és ebből a csomópontból nincs elágazás. Ez egyszerűnek tűnik, de kevésbé gyakorlottabbakat megzavarhat egy szokatlanabb elrendezés, így érdemes ezt gondosan ellenőrizni.
• Akkor is lehet az ellenállásokat sorosan kapcsoltnak tekinteni, ha van elágazás a csatlakozási pontból, de ekkor nem helyettesíthetők eredő ellenállással.
• Az állítás egyszerűen terjeszthető ki több ellenállásra is.
• Sorba kapcsolt ellenállások helyettesíthetők egy ellenállással, melynek értéke az egyes ellenállások értékeinek összege.

Ellenállások párhuzamos eredője

• Két ellenállás párhuzamosan van kapcsolva és eredő ellenállással helyettesíthető, ha mindkét kivezetésük össze van kötve.
• Az állítás egyszerűen terjeszthető ki több ellenállásra is.
• Párhuzamosan kapcsolt ellenállások helyettesíthetők egy ellenállással, mely értékének reciproka az egyes ellenállások reciprok értékeinek összege.
• Két ellenállás esetén célszerű az eredőt az \( \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2} \) képlettel számítani.
• A párhuzamos eredő rövid leírására a nemzetközi szakirodalomban a \( R_1 \parallel R_2 \) jelölés használatos.
  • Nem javasolt a hazai leírásokban elterjedt \( R_1 \times R_2 \) jelölés használata, mert nemzetközi értelmezése szorzás.

Alkalmazási példa

Alkalmazzuk ezeket a helyettesítéseket az alábbi áramkörre:

Lépésenként helyettesítsünk eredő ellenállásokkal sorosan vagy párhuzamosan kapcsolt ellenállásokat. Az R1 és R2 ellenállások soros eredővel, az R3 és R5 ellenállások párhuzamos eredővel helyettesíthetők, az R4 ellenállás nincs sorosan vagy párhuzamosan kapcsolva semelyik ellenállással. A helyettesítés után ezt az áramkört kapjuk:

Ebben az áramkörben már sorosan összevonhatók az R4 és az R3∥R5 ellenállások, jelöljük az eredőjüket RB-vel, tehát RB=R4+R3∥R5 :

Végül marad a két kapott ellenállás párhuzamos eredője, azaz egyetlen ellenállással helyettesíthetjük a teljes áramkört, melynek értéke (R1+R2)∥(R4+R3∥R5).

Csillag-delta vagy más néven T-Π átalakítás

Előfordul, hogy nem tudjuk csak párhuzamos vagy soros eredőkkel egyetlen ellenállásra redukálni az ellenálláshálózatot. Ilyenkor segíthet az alábbi megoldás, aminek az alkalmazása után már használhatók a soros és párhuzamos összevonások.

Az alábbi hárompólusú részhálózatok ekvivalensek, ami alapján a számítások szempontjából kedvezőbbel helyettesíthetjük a másikat.

A két kapcsolás csak akkor lehet ekvivalens, ha bármely két pont között mért ellenállás megegyezik, ahogy az alábbi táblázat mutatja:

Eredő ellenállás	A Π/Δ kapcsolás esetén	a T/csillag kapcsolás esetén
Az A és B pontok között	\( R_c \parallel (R_a+R_b) \)	\( R_1+R_2 \)
Az A és C pontok között	\( R_b \parallel (R_a+R_c) \)	\( R_1+R_3 \)
A B és C pontok között	\( R_a \parallel (R_b+R_c) \)	\( R_2+R_3 \)

Ennek alapján számíthatjuk ki az egyik elrendezés ellenállásainak ismeretében a másikhoz szükséges értékeket. A következők összefüggéseket kapjuk:

Részletes számítások

A táblázatban megadott értékek egyenlőségét írjuk fel a párhuzamos eredők kifejtésével:

A bal oldalon a számlálókat kifejtve kapjuk:

Vonjuk ki az első egyenletből a harmadikat

Ehhez pedig adjuk hozzá a másodikat:

Ez tehát megadja R₁ értékét:

Ezt felhasználva az első és második egyenletben megkapjuk R₂ és R₃ értékét:

A másik irányban:

Részletes számítások

Induljunk ki a fentebb megkapott összefüggésekből:

Ezek felhasználásával:

Az első egyenlet mindkét oldalát osszuk el R_b-vel:

A kiindulási egyenletekből megkaphatjuk a következő hányadosokat:

Ezeket behelyettesítve:

Ebből kapjuk R_c értékét:

Ugyanezt az elvet követve az első egyenletet elosztva R_c-vel:

A kiindulási egyenletekből megkaphatjuk a következő hányadosokat:

Behelyettesítve

Ebből kapjuk R_b értékét:

Az utolsó ellenállás meghatározásához osszuk el a második egyenletet R_c-vel:

A kiindulási egyenletekből a szükséges hányadosok:

Behelyettesítve

Ebből megkapjuk R_a-t:

Jobban látható lehet a két áramköri elrendezés közötti különbség és hasonlóság az alábbi ábrákon:

Alkalmazási példa

A következő példánál nincs sorosan vagy párhuzamosan kapcsolt ellenálláspár.

Ezen segíthetünk helyettesítéssel. Az R₂, R₃ és R₅ ellenállásokból álló delta kapcsolást kiválthatjuk egy csillag kapcsolással. Ekkor kapunk sorosan és párhuzamosan összevonható ellenállásokat:

Az R₁, R₂ és R₃ ellenállásokból álló csillag kapcsolást is kiválthatjuk egy delta kapcsolással:

Ellenállásmátrix-módszer

• Bonyolultabb esetekben célszerűbb és biztonságosabb az univerzális hálózatszámtási módszereket alkalmazni eredő ellenállás kiszámítására.
• A hurokáramok módszere ellenállásmátrix formalizmussal különösen alkalmas erre.
• A módszer könnyen algoritmizálható.
• Jó alternatívája lehet a csillag-delta átalakításnak is, ami eleve elég bonyolult egyenleteket ad, számos lépést igényel, a helyettesítés is problémás lehet.

Alkalmazási példa

A fentebbi áramkörhöz például az alábbi megoldás tartozhat:

Az egyenletek az ellenállásmátrix-módszert követve receptszerűen felírhatók:

Az eredő ellenállást V_G/i₃ adja meg. Láthatjuk, hogy ez lényegesen egyszerűbb megoldásra vezet, mint a sok lépést és bonyolultabb számításokat igénylő csillag-delta átalakítás.

Thevenin-tétel

Egy generátorokat és ellenállásokat tartalmazó, két kivezetéssel rendelkező áramkör vagy áramkörrész helyettesíthető egy feszültséggenerátorral és egy vele sorba kötött ellenállással.

A két áramkörnek minden esetben azonos módon kell viselkednie, így különböző esetekre felírt egyenletekből megkaphatjuk a helyettesítő áramkör két alkatrészének értékeit. A kimenetet szabadon hagyva (üresjárat) kapjuk az egyik egyenletet, a kivezetéseket összekötve (rövidzár) pedig a másikat.

Valóságos áramkör esetén méréssel is meghatározhatjuk a helyettesítő áramköri komponensek paramétereit. A rövidzárás nem feltétlen megengedhető, így helyette olyan ismert nagyságú terhelést alkalmazhatunk, ami az áramkorlát betartását biztosítja.

Jegyezzük meg, hogy kivételnek számít egy olyan két kivezetéssel áramkör, ami áramgenerátorként viselkedik. Ilyen egy áramgenerátor, vagy egy áramgenerátor és ellenállás soros kapcsolása.

Alkalmazási példa: feszültségosztó

Az üresjárati feszültség az R₂ ellenálláson eső feszültség, illetve a jobb oldali áramkörnél V_th:

A kimenet rövidre zárásakor az R₂ ellenállással kötünk párhuzamosan vezetéket, így az áram a két áramkör esetén:

A két egyenletből R_th értéke kiszámítható:

Ezt kiszámíthatjuk úgy is, hogy a V_G generátort rövidzárral helyettesítjük, majd vesszük az így kapott passzív áramkör eredő ellenállását.

Alkalmazási példa: kettős feszültségosztó

Az üresjárati feszültség meghatározásakor az alábbi áramkört vesszük:

Alkalmazzuk a Thevenin-tételt először az első feszültségosztó részre, azaz helyettesítsük a generátort és az R₁ és R₂ ellenállásokat tartalmazó részt egy generátorral és egy vele sorba kötött ellenállással:

A következő értékeket kapjuk:

Így már egyszerű kiszámítani a kimeneti feszültséget, ami tehát a keresett feszültségértéke a Thevenin-féle helyettesítő generátornak:

Végül:

Ez megegyezik azzal az eredménnyel, amit a csomóponti egyenletek alkalmazásánál láthatunk a kettős feszültségosztó számítási példájában.

R_th meghatározásához kiszámíthatjuk a rövidzárási áramot:

Ehhez újra felhasználhatjuk az első osztó Thevenin-ekvivalensét. Jóval egyszerűbb és kevesebb hibalehetőséget rejt, ha inkább eredő ellenállást számítunk ki arra az esetre, amikor V_G-t rövidzárral helyettesítjük:

Könnyen látható, hogy

• R₁ és R₂ helyettesíthető párhuzamos eredőjükkel, R₁∥R₂-vel
• Ez az eredő sorba van kötve R₃-mal: R₃+R₁∥R₂
• Ez utóbbi pedig párhuzamosan van kötve az R₄ ellenállással.

Végül tehát:

Kifejtve:

Alkalmazási példa: három generátort tartalmazó áramkör

Alkalmazzuk a Thevenin-tételt az alábbi összetettebb áramkörre:

Az üresjárati feszültség kiszámításához univerzális hálózatszámítási módszert érdemes használni. Az alábbiakben kétféle megoldás látható.

Megoldás csomóponti törvénnyel

A megoldáshoz előrször írjuk fel a csomóponti törvényt az R1, R2 és R3 ellenállások csatlakozási pontjára. Próbáljuk ezt egyszerűsítve úgy megtenni, hogy az áramokra nem vezetünk be változókat, ahogy a csomóponti egyenletek alkalmazásánál látható, hanem kifejezzük őket az Ohm-törvény segítségével.

Jelölje A a csomópontot és minden áramok a csomópontból kifolyónak vegyünk.

Ekkor a csomóponti törvény szerint:

Átrendezve:

Fejezzük ki V_A-t:

A kimeneti feszültség megegyezik az R₃ és R₄ ellenállások csatlakozási pontjában mérhető feszültséggel, tehát:

Ez az üresjárati feszültség, azaz az ekvivalens Thevenin-féle feszültséget adja meg.

Megoldás huroktörvénnyel

Rajzoljuk át az áramkört, hogy jobban látható legyen, hol vannak benne zárt hurkok:

Minden földelt pont összekötöttnek vehető, a zárt hurkok hurokáramai így egyszerűen felvehetők:

Ennek megfelelően az eredeti áramköben:

Írjuk fel a két hurokegyenletet:

A keresett kimeneti feszültség így adható meg:

Ennek kifejezéséhez osszuk el az egyenletek mindkét oldalát az i₁ hurokáram együtthatójával:

Ha a két egyenletet összeadjuk, i₁ kiesik:

i₂ így kifejezhető:

Ennek felhasználásával

A kettős feszültségosztóra kapott eredmény jól megmutatja a Thevenin-tétel jelentőségét. Láthatjuk, hogy ha például egymás után kötünk két felező feszültségosztót, akkor a kimeneti feszültség nem a negyede lesz a bemenetinek (egyforma ellenállások esetén az ötöde). Ez felhívja a figyelmet arra, hogy a feszültségosztó osztási kimeneti feszültsége (általánosabban, egy áramköri pont feszültsége) terhelés hatására jelentősen megváltozhat. Fontos, hogy az alkalmazások során ezzel tisztában legyünk:

• Ahhoz, hogy adott terhelés hatását ismerhessük, tudnunk kell az ekvivalens Thevenin-ellenállás értékét.
• Az ekvivalens Thevenin-ellenállás értékét legegyszerűbben az eredő ellenállás módszerével kaphatjuk meg.
• Csak akkor feltételezhető a névleges osztási arány, ha a terhelés elhanyagolhatóan kicsi.
• Érdemes mindig Thevenin-féle helyettesítéssel gondolni egy áramkörre, részáramkörre. Reális feszültséggenerátorok esetén is ez az elterjedt eljárás.

Thevenin-helyettesítő meghatározása méréssel

Tegyük fel, hogy egy adott áramkör helyettesíthető a Thevenin-tételnek megfelelően - azaz két kivezetéssel rendelkező lineáris áramkör, geneátorokat, ellenállásokat tartalmazhat - de nem ismerjük a tartalmát, nem bonthatjuk meg. Ilyen esetben méréssel kell meghatároznunk a helyettesítő komponensek értékeit. Az eszköz nem feltétlen viseli el a rövidzárat, ismernünk kell, milyen terhelhetőség megengedett.

Az üresjárati feszültséget közvetlenül megmérhetjük, de szükséges még egy mérés. Tehetünk a kimenetre egy olyan ellenállást, ami garantálja, hogy az áram nem haladja meg a megengedett értéket.

Használjuk fel a Thevenin-féle helyettesítő képet:

V_Th az üresjárati feszültség, közvetlenül mérhető, ahogy a baloldali ábrán látszik. R_Th könnyen kiszámítható V_R mért értékének felhasználásával a jobboldali ábra alapján:

Norton-tétel

Egy generátorokat és ellenállásokat tartalmazó, két kivezetéssel rendelkező áramkör vagy áramkörrész helyettesíthető egy áramgenerátorral és egy vele párhuzamosan kötött ellenállással.

Jegyezzük meg, hogy kivételnek számít egy olyan két kivezetéssel áramkör, ami feszültséggenerátorként viselkedik. Ilyen egy feszültséggenerátor, vagy egy feszültséggenerátor és ellenállás párhuzamos kapcsolása.

Alkalmazási példa

A rövidzárási áram kiszámításához a két kivezetés közé ampermérőt tehetünk, ami rövidzárként viselkedik és épp a rövidzárási áramot mutatja. Ez azt jelenti, hogy a kivezetések között a feszültség 0 V, ezért az R₁ ellenálláson átfolyó áram V₁/R₁, az R₂ ellenálláson átfolyó áram V₂/R₂. Ezek összege adja a rövidzárási áramot, azaz I_N értékét.

R_N kétféleképp is kiszámítható, egyszerűbb az áramkör eredő ellenállását venni abban az esetben, amikor a feszültséggenerátorokat rövidzárakkal helyettesítjük, ez a két ellenállás párhuzamos eredőjét adja.

A szuperpozíció tétele

Ha egy áramkörben az alkatrészek viselkedését lineáris egyenletekkel írhatjuk le (ilyen az Ohm-törvény), akkor bármelyik csomóponti feszültség is lineáris függvénye a generátorok értékeinek:

ahol Vg_i és Ig_i a hálózat jelforrásait reprezentáló feszültség- és áramgenerátorok értékeit jelenti, a_i és b_i pedig az ezekhez tartozó együtthatók. Ugyanilyen alakú összefüggés írja le az ágakban folyó áramokat is.

Ebből az következik a szuperpozíció tétele:

Ha a hálózat nem írható le lineáris egyenletekkel (például a dióda egyenlete nem lineáris), akkor a tétel sem érvényes.

A szuperpozíció tételét felhasználhatjuk arra, hogy egy több generátort tartalmazó, vagy több feszültségbemenettel rendelkező áramkörben külön kiszámítsuk a hatásukat, majd ezeket összegezve kaphassuk meg a végeredményt. A szuperpozíció tételének alkalmazásával jól ismert kapcsolásokra vezethetjük vissza a feladat megoldását. Ez egyszerűséget és megbízhatóságot jelenthet.

Alkalmazási példa: kétbemenetű feszültségosztó

Az alábbi áramkör egy két bemenettel rendelkező feszültségosztó, amit gyakran használnak különböző áramkörökben.

A V₁ és V₂ bemeneti feszültségekből kiszámítható a V kimeneti feszültség értéke. Az egyik hatásának kiszámításakor a másikat 0V-nak vesszük. Így két földelt feszültségosztó kimeneti feszültségének képletét használhatjuk. A V₁ generátor járuléka:

A V₂ generátor járuléka:

Ezek összege adja a végeredményt

Alkalmazási példa: három generátor

Egy összetettebb áramkörre is alkalmazzuk a szuperpozíció elvét. A feladat az A csomópontban mérhető feszültség és az I áram kiszámítása.

A V_G1 generátor hatásának kiszámításához a másik két generátornak 0 V-ot kell adnia, így ezeket vezetékkel helyettesítjük.

Ha vesszük az R₁ és R₄ ellenállások eredőjét, illetve az R₂, R₃ és R₅ ellenállások eredőjét, akkor az A pont egy feszültségosztó kimenete V_G1 bemeneti feszültséggel és ezzel a két eredő ellenállással. A részeredményt így egyszerűen megkaphatjuk:

A V_G2 generátor hatásának kiszámítása:

Ebben az esetben az A pont kimenetű feszültségosztó egyik ellenállása R₂, a másik pedig a többi ellenállás eredője. A részeredmény:

A V_G3 generátor hatásának kiszámítása:

Ebben az esetben az A pont kimenetű feszültségosztó egyik ellenállása R₃ és R₅ eredője, a másik pedig a többi ellenállás eredője. A részeredmények:

A végeredmény:

Tellegen tétele

A tétel feltétele az, hogy a vizsgált hálózatra teljesüljenek a Kirchhoff-törvények. Ekkor igaz, hogy ha minden ágra összegezzük az ágak végpontjai között mérhető feszültség és ágáram előjelhelyes szorzatát, akkor az összeg nulla lesz:

A tétel hasonló egyensúlyt jelent, mint a Kirchoff-törvények. Lényegében azt mondja ki, hogy generátorok által kifejtett teljesítmény megegyezik a komponenseken disszipálódó teljesítménnyel. Másképp fogalmazva a fogyasztók által felvett teljesítmény megegyezik a generátorok által leadott teljesítménnyel.

Alkalmazási példa

Először határozzuk meg az A csomópont feszültségét! A két generátort és a két 2R értékű ellenállást Thevenin-tétellel helyettesítve kapjuk:

Ezt terheli az R értékű ellenállás felező feszültségosztót alkotva, így a csomóponti feszültség az üresjárati feszültség fele:

Az áramokat így már könnyen megkaphatjuk:

A teljesítmények összege így, figyelembe véve, hogy egy generátor akkor ad le teljesítményt, ha a pozitívabb kivezetéséből kifelé folyik az áram:

Helyettesítsük be az áramok összefüggéseit! Az első tag

A második tag

A harmadik tag

A negyedik tag

Az ötödik tag

Ezekből az alkatrészeken a teljesítményfelvétel összege:

Mivel minden tag együtthatója nulla, ez nulla értéket ad a Tellegen-tételnek megfelelően, .