Nyílthurkú erősítés, frekvenciafüggés

A nyílthurkú erősítés (open loop gain, large signal voltage gain) az adatlapban egy számértékkel van megadva, ez a DC illetve alacsonyfrekvenciás érték. Ugyanakkor ez a mennyiség frekvenciafüggő:

A műveleti erősítők döntő többsége frekvenciakompenzált, a nyílthurkú erősítés ezért egypólusú átviteli függvényként írható le abban a frekvenciatartományban, ahol a nagysága 1-nél nem kisebb. Szükségünk van tehát egy f_p pólusfrekvenciára:

Meglepő lehet, hogy ilyet az adatlap nem ad meg, helyette a sok szempontból könnyebben használható erősítés-sávszélesség szorzat (gain bandwidth product, f_GBWP), más néven az egységnyi erősítéshez tartozó sávszélesség (unity gain bandwidth) látható. Az alábbi grafikon foglalja össze az eddigieket:

Egy kapcsolás erősítéshibáját tehát adott frekvencián ennek figyelembe vételével kell kiszámítani.

A műveleti erősítőket leggyakrabban negatív visszacsatolással használjuk. A negatív visszacsatolás általános vázlatát mutatja az alábbi ábra:

A kimeneti feszültség β-szorosát vesszük (β≤1), majd ezt a bemenő jelből levonva az erősítő bemenetére vezetjük.

A következő összefüggést írhatjuk fel:

Az erősítésre kapjuk

Ha A⋅β ≫ 1, akkor

Az erősítés tehát jó közelítéssel a visszacsatolási tényező reciproka, 1/β.

Hasznosabb lehet az erősítésnek a következő alakja:

Itt kiemelve látjuk az erősítést, a második tag adja azt meg, hogy mennyire jó a közelítés. Ha x ≪ 1, akkor lineáris közelítéssel \( \frac {1}{1+x} \approx 1-x \), így

Az értéknek 1-től való eltérése adja meg az erősítés közelítésének a hibáját, ami éppen \( \frac {1}{A \cdot \beta} \). Ennek értéke a frekvenciától is függ, mivel A és β is frekvenciafüggő lehet.

Kisjelű sávszélesség

Ha egy műveleti erősítővel felépített áramkörben a visszacsatolási tényező ismert, akkor az erősítés (zajerősítés, ami nem feltétlen azonos a jelerősítéssel) frekvenciafüggése:

Ennek a függvénynek a pólusfrekvenciája adja meg a sávszélességet:

Ezt kisjelű sávszélességnek (small signal bandwith) szokták nevezni, mivel nagyobb jelamplitúdóknál a jelváltozási sebességet is figyelembe kell venni.

Ezzel az átviteli függvény

Az adatlapban az erősítés-sávszélesség szorzat látható, így ezt használjuk fel:

amivel

Ezzel nyer értelmet az erősítés-sávszélesség szorzat, ugyanis a kapcsolás erősítése 1/β, így ezt megszorozva a sávszélességgel valóban:

A erősítés és erősítés-sávszélesség szorzat ismeretében tehát egyszerűen megkapható a sávszélesség. Az átviteli függvényt is felírhatjuk ezek segítségével:

Az alábbi grafikonon egy kapcsoláshoz tartozó átviteli függvény Bode-diagramja látható.

Kék vonal felel meg a nyílthurkú erősítésnek, a visszacsatolt erősítő átviteli függvényének görbéje piros színű. Az ábráról leolvashatók a fontosabb mennyiségek is. Érdemes szem előtt tartani, hogy a tengelyek logaritmikusak, így a szorzások összegeknek felelnek meg.

A mennyiségeket a következő táblázat foglalja össze:

Néhány elterjedt kapcsoláshoz az alábbi táblázatban láthatók a fontosabb leíró mennyiségek:

Áramkör	Jelerősítés	Zajerősítés	Sávszélesség
	\( 1 \)	\( 1 \)	\( f_{GBWP} \)
	\( 1+ \frac {R_2}{R_1} \)	\( 1+ \frac {R_2}{R_1} \)	\( f_{GBWP} \cdot \frac {R_1}{R_1+R_2} \)
	\( - \frac {R_2}{R_1} \)	\( 1+ \frac {R_2}{R_1} \)	\( f_{GBWP} \cdot \frac {R_1}{R_1+R_2} \)
	\( - \frac {R_2}{R_1} \) és \( - \frac {R_2}{R_3} \)	\( 1+ \frac {R_2 \cdot (R_1+R_3)}{R_1 \cdot R_3} \)	\( f_{GBWP} \cdot \frac {R_1 \cdot R_3}{R_1 \cdot R_3+R_2 \cdot (R_1+R_3)} \)
	\( - \frac {R_2}{R_1} \) és \( \frac {(R_1+R_2) \cdot R_4}{R_1 \cdot (R_3+R_4)} \)	\( 1+ \frac {R_2}{R_1} \)	\( f_{GBWP} \cdot \frac {R_1}{R_1+R_2} \)

Stabilitás

Fázistartalék

Ha a nyílthurkú erősítés egypólusú, akkor a csökkenő szakasz meredeksége 20dB/dekád (régebben a 6dB/oktáv megnevezés is használatos volt: egy oktáv a zeneelmélet alapján kettes szorzót, nyolc hangot jelent), így a fázistolás ezen a szakaszon -90º-hoz tart. Ha az átviteli függvényben még egy pólus van, akkor már 40dB/dekád a meredekség és a fázistolás 180º-hoz tart. Ez problémát jelenthet negatív visszacsatolás esetén, mert ekkora fázistolás már pozitív visszacsatolást fog jelenteni, és egységnyi erősítésnél instabil lesz a rendszer, oszcilláció alakulhat ki.

Jól látható a probléma az erősítés megadásából:

Ha a fázistolás ±180º, és 1/β=|A| – azaz a zajerősítés nagysága éppen megegyezik a nyílthurkú erősítés nagyságával, metszik egymást a Bode-diagamjaik –, akkor βA=-1, a nevezőben nulla lesz, azaz végtelenné válik az erősítés.

A stabilitás minőségét gyakran jellemzik a fázistartalékkal:

Ha a fázistolás nem éri el a 180º-ot, azaz a fázistartalék nagyobb, mint 0º, akkor nem áll ugyan fenn a rezonancia feltétele, de a működés nem feltétlen lesz az elvártnak megfelelő. Túllövések, lecsengő oszcilláció jelenhet meg.

A gyakorlatban legalább 45º fázistartalékot tartanak megfelelőnek (legfeljebb 135º fázistolás, ami épp a második pólusfrekvenciánál teljesül), ezt figyelembe véve állítják be a műveleti erősítők frekvenciakompenzálását is. Ez kellően biztonságos, és negatív visszacsatolás esetén a gyorsabb bemeneti jelváltozások okozta túllövés és lecsengő oszcillálás is elfogadható szinten marad. Ezt illusztrálják az alábbi grafikonok.

Ha egy műveleti erősítő kompenzálatlan, akkor a második pólusfrekvencia fölött egynél nagyobb az erősítés, így a fázistartalék nem elegendő bármilyen visszacsatolás esetén. Feszültségkövetőhöz – ahol β=1 – nem használhatjuk, de ha a zajerősítés olyan nagy, hogy a nyílthurkú erősítés ekkora értéket a második pólusfrekvencia alatt vesz fel, akkor az erősítő stabil lesz. Ennek az a magyarázata, hogy a kisebb visszacsatolási tényező miatt az invertáló bementre jutó jel 1-nél kisebb erősítésű lesz az első pólusfrekvencia felett, ahol a fázistartalék már nem lenne elég. Tulajdonképpen a hurokerősítés veszi át a nyílthurkú erősítés szerepét: ennek a frekvenciamenetére kell teljesülnie, hogy a fázistartalék elegendő legyen az egységnyi értékhez tartozó frekvencián.

Minél nagyobb a zajerősítés (azaz minél kisebb a visszacsatolási tényező), annál kevésbé fordulhatnak elő stabilitási problémák. A legérzékenyebb a feszültségkövető kapcsolás.

A hurokerősítés számítása és szimulációja

A stabilitás elemzéséhez tehát a hurokerősítés frekvenciafüggését kell ismernünk. Ezt akár számítással, akár áramkörszimulációval elvégezhetjük. Az utóbbinak nagy előnye van konkrét integrált áramkör elemzése esetén.

Egy visszacsatolt műveleti erősítő az alábbi sémával rendelkezik:

Az erősítés a fentebbieknek megfelelően

Az Aβ hurokerősítés számításához megbontjuk a visszacsatolást, és a bemenetnek a visszacsatoló hálózat bemenetét tekintjük.

Ekkor

Ez a számításokhoz megfelelő elrendezés, de a gyakorlatban és így a szimulációban a visszacsatolás hiánya az erősítő szaturációját okozhatja, hiányozhat a megfelelő munkapont biztosítása is.

Ezt a problémát többféleképp is megoldhatjuk. Az egyik módszert mutatja a következő ábra:

Meglepő lehet az extrém nagy 1TH induktivitás és 1TC kapacitásérték. Az induktivitás DC-ben rövidzár és a nagy érték miatt váltófeszültség esetén szakadás, így a DC visszacsatolás biztosított. AC jeleket tekintve pedig a kondenzátor viselkedik rövidzárként. Ezzel jól szétválasztottak a DC és AC jelek.

Részletesebb elemzés látható ebben a videóanyagban: Stability-3, Spice simulation, TI Precision Labs 🎦

Egy másik megoldás is elterjedt:

Itt is megbontjuk a visszacsatoló-hálózatot, de közbeiktatunk egy olyan feszültséggenerátort, melynek a DC komponense 0 V, így a visszacsatolás biztosított, az AC komponenst használjuk bemenetként.

Részletesebb elemzés látható ebben a videóanyagban: LTspice: Stability of Op Amp Circuits 🎦

A műveleti erősítő alapegyenlete szerint a földelt neminvertáló bemenet miatt

amit β(s)-fel szorozva kapjuk:

Végül:

Bár V_fb(s) és V_n(s) különbsége természetesen V_ac(s)-el egyenlő, az arányukat a hurokerősítés adja meg. Ne felejtsük, hogy V_n nem 0 V, mivel ez csak végtelen nyílthurkú erősítés esetén lenne igaz.

Külső komponensek által okozott instabilitás

Bár ma már szinte kizárólag kompenzált feszültségvisszacsatolású műveleti erősítőket használunk, mégis számítanunk kell problémákra.

Kapacitív terhelés a kimeneten

Ha a kimenetet kapacitás terheli, akkor a műveleti erősítő kimeneti ellenállása a kapacitással együtt egy pólust hozhat létre a visszacsatolási tényezőben (zérust a zajerősítésben) olyan frekvencián, ahol a nyílthurkú erősítés 1-nél nagyobb. Ilyet okozhat akár egy oszcilloszkóp mérőfeje is, ha a műveleti erősítő kimenetére csatlakoztatjuk.

A Bode-diagramon látható, hogy ha a pólusfrekvencia elég alacsony, akkor a zajerősítés és nyílthurhú erősítés metszéspontjában a meredekségeik különbsége 40dB/dekád.

Ebben a pontban

ugyanakkor a fázisaik 180º-al térnek el, ezért a kapcsolás instabil:

A legegyszerűbb megoldás az, hogy a műveleti erősítő kimenetére egy soros ellenállást kötünk (out-of-the-loop compensation):

Ezzel a pólus fölött egy zérus jön létre a visszacsatolási tényezőben (pólus a zajerősítésben), és ha ez kellően közel van a pólushoz, akkor a fázistolás megfelelő tartományban (-135º-nél kisebb) marad.

A két frekvencia hányadosa az alábbi módon adható meg, ha a visszacsatoló hálózat hatását elhanyagoljuk, ami a gyakorlatban jól teljesül:

A járulékos fázistolás 10% alatt marad és eleve szűk sávra korlátozódik, ha R_s>3⋅R_o. Már akár 50Ω..100Ω is elegendő lehet. A megoldás hátránya, hogy a kapcsolás kimeneti ellenállása R_s miatt megnő.

Ha szeretnénk nagyon alacsonyan tartani a kapcsolás kimeneti ellenállását (például nagyobb kimeneti áramoknál, referenciafeszültség bufferelésénél), akkor az alábbi megoldást választhatjuk (in-the-loop compensation):

Mivel a visszacsatolás most a C_L kapacitáson eső feszültséget szabályozza, az R_s-en eső feszültség ezt nem befolyásolja. A C_f visszacsatolóköri kapacitás kicsit összetettebb számításokkal számítható ki.

Egy további megoldás is használatos, ennek a kapcsolása a következő:

Az R_s és C_s komponensekből álló rész (snubber circuit) feladata az, az erősítő kimenetét terhelje meg az R_S ellenállás, tompítsa le a kiemelést, nagyobb ingadozásokat, amit a C_L kapacitív terhelés okoz. A C_s kapacitás leválasztja az ohmikus terhelést alacsonyabb frekvenciákon. Lényegében tehát az erősítést csökkentjük le azon frekvenciatartományban, ahol kevés a fázistartalék, túllövések, oszcilláció jelenik meg.

R_s optimális értékét kísérletileg érdemes meghatározni úgy, hogy C_s helyére rövidzárat teszünk. C_s értékét ez után 3/(2πf_pR_S)-nek választjuk, ahol f_p az a frekvencia, ahol a kiemelés történik.

Kapacitív terhelés az invertáló bemeneten

Ha a műveleti erősítő invertáló bemenetén terhelő kapacitás van, akkor az a visszacsatoló ellenállásokkal együtt egy pólust hozhat létre a sávszélességen belül, így instabilitást okozhat.

Akár a bemeneti szórt kapacitás is számíthat, ha nagyimpedanciás a visszacsatoló hálózat. Nagyobb kapacitású szenzoroknál (például fotodióda erősítőknél), deriváló jellegű áramköröknél is eséllyel alakulhat ki probléma.

Ha van rá lehetőség, a kapacitással sorba kötött ellenállás segíthet. Ezt a megoldást követhetjük például deriváló áramkörnél:

A zajerősítést kiszámíthatjuk az alábbi módon:

A zajerősítés végül az alábbi alakú lesz:

A nyílthurkú erősítés és zajerősítés metszéspontja a Bode diagramon jól szemléltethető:

A stabilitáshoz az szükséges, hogy a metszéspontban a zajerősítés meredeksége 0 legyen. Ebben a pontban a hurokerősítés egységnyi, a fázistartaléknak megfelelőnek kell lennie. Ez teljesül, mert a nyílthurkú erősítés fázistolása -90º, β (a zajerősítés reciproka) ehhez -45º-nál kevesebbel járul hozzá. Instabil lenne a rendszer, ha a pólusfrekvencia olyan nagy lenne, hogy a zajerősítés a metszési pontban 20dB/dekád meredekségű lenne, mivel ekkor az eredő fázistolás megközelítené a -180º-ot.

Megoldható a stabilitás a visszacsatolókörbe kapcsolt kapacitással is, ahogy az alábbi áramkör mutatja:

Ezzel is elérhető, hogy a zajerősítésbe egy pólust vigyünk úgy, hogy a zajerősítés vízszintesen metssze a nyílthurkú erősítést. A zajerősítés frekvenciafüggésére ezt kapjuk:

A visszacsatoló-hálózat lényegében egy kompenzált feszültségosztó.

Jelváltozási sebesség

A kimeneti jel korlátos sebességgel változhat, aminek oka az, hogy a műveleti erősítőben levő kapacitásokat kell tölteni vagy kisütni a jelszintnek megfelelően. Ez gyakran a kompenzáló kapacitás töltését jelenti, amit áramgenerátor végez, így a jelváltozás maximális sebességéhez lineáris feszültségváltozás tartozik.

A következő ábrán egy feszültségkövető bemeneti és kimeneti jele látható az 1-es és 2-es csatornán:

Az adatlap jellemzően feszültségkövető kapcsolásra adja meg a maximális jelváltozási sebesség (slew rate) értékét.

Jegyezzük meg, hogy a növekvő és csökkenő szakaszhoz tartozó sebességek eltérőek lehetnek.

Nagyjelű sávszélesség

Bár egy műveleti erősítővel felépített kapcsolás kisjelű sávszélessége akár az erősítés-sávszélesség szorzatig terjedhet (feszültségkövető esetén érhető el a legnagyobb érték), a jelváltozási sebesség miatt torzulás léphet fel.

Ha a bemeneti feszültség szinuszos, akkor a legmeredekebb szakasz épp a nullátmeneteknél van. A jelváltozási sebesség ekkor:

A SR maximális jelváltozási sebesség ismeretében ebből kiszámítható a legnagyobb frekvencia, aminél még torzításmentes szinuszos jelet kapunk a kimeneten:

Ezt teljesítmény-sávszélességnek (full power bandwidth), nagyjelű sávszélességnek (large signal bandwidth) is nevezik.

Beállási idő

Egy áramkör esetén fontos szerepe van a beállási időnek, ami azt mutatja meg, mennyi idő szükséges ahhoz, hogy a kimenet kellően pontosan beálljon arra az értékre, amit a bemenet meghatároz. Az átviteli függvény mellett a maximális jelváltozási sebességnek is szerepe lehet ebben. Az adatlapban beállási időnek (settling time) nevezik az értéket, amit 0.1% vagy 0.01% tűrés mellett adnak meg ugrásszerű bemeneti jel estére.

Az ugrásszerű bemeneti változáshoz a kimeneten valamennyi késleltetési idő, túllövés és lecsengő oszcillálás is tartozhat. Az alábbi ábrák tipikus jelalakot mutatnak, a jobboldali ábra kinagyítja a jelet és a ±0.1% elfogadási sávot.

A kék vonalak az elfogadási tartományt határolják. A beállási idő 0.1% pontossággal itt 21µs körüli.

Érdemes megjegyezni, hogy hosszú idejű beállást termikus hatások is befolyásolhatnak.

Torzítás

Ideális esetben az áramkör lineáris, így szinuszos bemeneti jel esetén a kimenet is szinuszos azonos frekvenciával. A valóságban ez nem pontosan teljesül, aminek jellemzésére a teljes harmonikus torzítást (total harmonic distortion, THD) használják:

V_s a jel effektív értéke, V_i (i=2..N) pedig a jel frekvenciafelbontásában szereplő felharmonikusok effektív értékei. Általában N=5 értéket szoktak használni, a további felharmonikusok nem adnak jelentősebb járulékot.

A teljes harmonikus torzítás tehát a felharmonikusok összesített effektív értékét viszonyítja a jel effektív értékéhez. Ideális szinusz esetén értéke természetesen nulla.

A zaj effektív értékét (V_noise) is hozzá szokták ehhez venni, ami így az összes nemkívánatos jel részarányát adja meg:

Közös módusú elnyomás

A bemeneti differenciálerősítő fokozat szabja meg a műveleti erősítő közös módusú elnyomási tényezőjét (common mode rejection ratio, CMRR). A differenciálerősítőnél látható ennek részletesebb tárgyalása.

A közös módusú elnyomási tényező elterjedt definíciója műveleti erősítők esetén:

ahol A_d a differenciális, A_cm a közös módusú jel erősítése.

A műveleti erősítő alapegyenletében ezt így tudjuk figyelembe venni:

CMRR értékével kifejezve:

Az adatlapokban leggyakrabban dB egységekben adják meg a DC értékét. A közös módusú elnyomási tényező frekvenciafüggő, ennek a tipikus menete látható az alábbi grafikonon az LM358 (piros) és OP07 (kék) műveleti erősítőre (az adatlapi grafikonok felhasználásával):

Előnyösek azok a kapcsolások, ahol a közös módusú jel állandó, vagy kicsit és lassan változik. Ilyen az invertáló erősítő, ahol nem jelentkezik a közös módusú jel hatása.

A neminvertáló erősítőnél a közös módusú jel a neminvertáló bemeneti jel egyben, így ez nem csak az erősítés miatt, hanem a közös módusú elnyomás véges értéke miatt is a kimenetre jut:

Ez a fentebbi összefüggések használatával kapható meg azzal a feltételezéssel, hogy a közös módusú jel megegyezik a bemeneti jellel.

Hasonló számítást végezhetünk műveleti erősítőkkel felépített különbségképző erősítőre is:

A megépített differenciálerősítő ugyanolyan elnyomási arányt biztosít, mint maga a műveleti erősítő.

Fontos megjegyezni, hogy az ellenállások hibáját nem vettük figyelembe, ami lényegesen nagyobb hibát is okozhat, mint a közös módusú elnyomás. Ha például a két bemeneti feszültség erősítése nem teljesen azonos, eltérésük x %, akkor az ebből származó közös módusú elnyomási arány 100/x. 1% pontos ellenállásoknál tehát mindössze 100, azaz 40dB a közös módusú elnyomás, ami sokkal gyengébb, mint a műveleti erősítő adatlapi értéke. Precíz differenciálerősítők készítésénél gyakran használnak 0.01% arányban egyforma ellenállásokat (a pontosságuk ennél kisebb, az arány a döntő), amivel 80dB CMRR érhető el.

Tápfeszültség-elnyomás

A tápfeszültség elnyomási aránya (power supply rejection ratio, PSRR vagy PSR) azt adja meg, hogy adott tápfeszültségváltozás hogyan aránylik a kimeneten (RTO) létrehozott feszültségváltozással:

Természetesen ideális esetben a kimeneti feszültségnek nem szabadna függenie a tápfeszültségtől.

Jegyezzük meg, hogy ezt az értéket a bemenethez is viszonyíthatjuk (RTI) egy adott kapcsolás esetén. Ekkor az erősítéssel osztjuk az RTO értéket.

Az adatlapokban leggyakrabban dB egységekben adják meg a DC értékét. Frekvenciafüggő, ennek a tipikus menete látható az alábbi grafikonon az OP07 (kék) és OPA350 (piros) műveleti erősítőre (az adatlapi grafikonok felhasználásával):

A görbe menete különböző lehet a pozitív és negatív tápfeszültségek esetén.

Mivel PSRR nagyobb frekvenciákon jelentősen csökken, különösen fontos analóg áramköröknél a jó minőségű, zajszegény tápfeszültség. A kapcsolóüzemű szabályzók ennek a követelménynek kevésbé felelnek meg, így alkalmazásuk esetén különösen fontos a tápfeszültség hatékony szűrése.

Zaj

Az elektronikai alkatrészek egyben zajforrások is. Egy ellenállásban a töltéshordozók hőmozgása véletlenszerűen ingadozó termikus zajfeszültséget (thermal noise, Johnson noise) hoz létre az ellenállás két kivezetése között. Ezen felül még többféle zajforrás is előfordul áram hatására, félvezetőkben is. Zajnak nevezhetnek olyan külső hatásokat is, amelyek ugyan determinisztikusak, de összegzett hatásuk véletlenszerűnek tűnik (pl. elektromágnes zavarjelek). A következőkben csak az alkatrészekben lezajló fizikai folyamatok hatására keletkezett valódi véletlenszerű jelek kezelésével foglalkozunk.

Ellenállások termikus zaja

Az ellenállások végpontján áram nélkül, pusztán a töltéshordozók hőmozgása miatt véletlenszerű feszültségingadozás keletkezik. Az ideális, zajmentes ellenállással sorba kötött feszültséggenerátorral modellezhetjük:

A zajfeszültség univerzális, nagysága független az ellenállás anyagától, csak az ellenállásértéktől függ. Nem létezik tehát zajmentes, vagy kisebb zajú ellenállás.

Műveleti erősítők zaja

Az ellenállások zaja mellett a műveleti erősítők zaja is számít, a kimeneti jelre szuperponálódik ezek eredője. A műveleti erősítő esetében tipikusan kétféle zajforrás paramétereit adja meg az adatlap.

Bemeneti zajfeszültség

A bemeneti zajfeszültség (input noise voltage) hasonlóan kezelendő, mint az offszetfeszültség. Úgy is tekinthetjük, hogy az offszetfeszültségnek van egy véletlenszerűen változó időfüggő komponense. A modell tehát:

A kimenetre ugyanúgy 1/β-szorosan jut, ahogy az offszetfeszültség:

Bemeneti zajáram

A bemeneti zajáram (input noise current) lényegében a bemeneti munkaponti áramok véletlenszerűen változó időfüggő komponense. A modell:

A kimenetre gyakorolt hatását ugyanúgy számíthatjuk ki, mint a bemeneti munkaponti áramokét:

A zajok megadása, eredő hatásuk kiszámítása

A véletlenszerűen ingadozó jelek, zajok leírása időtartományban nem egyszerű, hiszen az amplitúdó kiszámíthatatlanul változik, legfeljebb valamilyen átlagos érték rendelhető hozzá, de még ez is függhet a sávszélességétől.

Szerencsére a frekvenciatartományi kezelés sok előnnyel jár, és ha szem előtt tartjuk, hogy a spektrum számításához - amit Fourier-transzformációval végzünk - elvileg végtelen időtartamra vonatkozó integrálás tartozik, eleve magába foglal egyfajta átlagolást.

A spektrum folytonos, minden frekvenciát tartalmaz. Egy véletlen jelhez ennek alapján egy S(f) úgynevezett teljesítménysűrűség-spektrumot társítunk. Ez a jel effektív teljesítményének frekvenciák közötti eloszlását adja meg, azaz egy f1 és f2 közötti frekvenciatartományba eső teljesítmény

a jel összteljesítménye pedig

A mértékegysége feszültségjel esetén V²/Hz.

Az elektronikában kétféle zajtípust használunk. Az egyik a fehér zaj (white noise, a fehér fény analógiájára), ami a frekvenciatérben egyenletesen oszlik el, azaz konstans. A másik az úgynevezett 1/f zaj, aminél S(f) a frekvenciával fordítottan arányos. Alacsony frekvenciákon tehát nagyobb, ezért rózsaszín zajnak (pink noise) is szokták nevezni. A fehér zaj esetén egy sávba eső teljesítmény csak a sáv szélességétől függ, 1/f zaj esetén pedig csak a határfrekvenciák arányától. A fehér zaj egy teljesen véletlenszerű időbeli lefutást mutat, az 1/f zaj lassabb ingadozásokat is tartalmaz. Tisztán 1/f zajt áramkörökben nem látunk, mert mindig jelen van fehér zaj is, ami nagyobb frekvencián dominál.

Fehér zaj

1/f zaj

A spektrumokat logaritmikus léptékű koordinátarendszerben adjuk meg. Az effektív teljesítmény helyett az adatlapok effektív értéket használnak, ami egyszerűen négyzetgyökvonással kapható meg. Ugyanakkor a számolásokat az effektív teljesítménnyel kell elvégezni, ahogy a következőkben látni fogjuk.

Az ellenállás termikus zajának nagysága

Egy R értékű ellenállás termikus zajfeszültségének teljesítménysűrűség-spektruma az alábbi formulával adható meg:

Itt k a Boltzmann-állandó, T az abszolút hőmérséklet. Ez tehát fehér zaj, a spektrum nem függ a frekvenciától.

Hogyan számíthatjuk ki, ez mekkora feszültséget jelent? A feszültség effektív értékét tudjuk a fentiek alapján meghatározni. Tegyük fel, hogy egy feszültségmérőt használunk, amit egypólusú átviteli függvény ír le, a sávszélessége f_BW és a műszer az effektív feszültséget méri bármilyen alakú időfüggő jelre (true-rms voltmeter). A műszer tehát a sávszélességébe jutó effektív értéket méri, ez a frekvenciatartományban az átviteli függvénnyel való szorzást jelenti. Mivel S(f) effektív teljesítményhez tartozik, abszolútérték, így azt az átviteli függvény abszolútértékének a négyzetével kell szorozni összegzés előtt. Végül tehát az effektív zajteljesítmény az f_BW sávban:

Végül:

Az effektív zajfeszültség ennek a négyzetgyöke:

Ez milyen időfüggő jelhez tartozik? Az effektív érték a véletlenszerű jel σ szórásával egyezik meg, és itt a fizikai folyamatoknál szokásos normális eloszlás érvényes, a jel 99.7%-a esik a ±3⋅V_eff,BW=±3⋅σ tartományba. Használnak ±3.3⋅V_eff,BW=±3.3⋅σ tartományt is, itt már a 99.9% a valószínűsége annak, hogy az amplitúdó ezen belül van.

A jel tehát lényegében 6σ vagy 6.6σ szélességű tartományba esik, ezért ezek csúcstól-csúcsig értéket adnak meg (peak-to-peak noise).

A termikus zaj formulájának levezetése

Tekintsük a következő áramkört:

A termikus zajfeszültség miatt a kondenzátoron is feszültség jelenik meg. A kondenzátor lényegében termikus energiát tárol, és egy szabadsági fokú, ezért a rá jutó energia:

A kondenzátoron tárolt energia a rajta eső effektív feszültséggel is kifejezhető:

A kondenzátoron megjelenő feszültség a zajfeszültség aluláteresztő szűrésével adható meg. Ezt az alábbi modell alapján érthetjük meg:

Az aluláteresztő szűrés miatt a sávszélesség

Feltételezzük, hogy a teljesítménysűrűség-spektrum nem függ a frekvenciától, értéke S₀. Ezzel az effektív feszültség négyzete így adható meg:

Egyszerűsítve:

Az energia két kifejezésének egyenlősége az alábbi egyenletet adja:

Ebből következik a termikus zajra vonatkozó formula:

Számítási példa

A fentieket alkalmazzuk egy esetre! Legyen az ellenállás értéke 1MΩ, a sávszélesség 100kHz. Mekkora a zaj csúcstól-csúcsig terjedő értéke? Az effektív zajfeszültség:

Az effektív érték és a csúcstól-csúcsig érték az ellenállás négyzetgyökével arányos, tehát négyszerakkora ellenállás zajfeszültsége csak kétszeres.

A műveleti erősítők zajfeszültségének és zajáramának adatlapi megadása

A zajfeszültséghez tipikusan kétféle értéket találhatunk az adatlapokban:

• voltage noise nV/√Hz egységekben - ez a négyzetgyöke a teljesítménysűrűség-spektrumnak egy megadott frekvencián, tipikusan 1kHz-en.
• p-p voltage noise µV egységekben - alacsonyfrekvenciás zaj a 0.1 Hz to 10 Hz sávban. Ez az 1/f zajkomponens hatása, lassan változó hiba, így a DC méréseket is zavarja.

A zajáramnál leggyakrabban csak a pA/√Hz vagy FET-bemenetű erősítőknél a fA/√Hz adat található meg.

A zajspektrumok frekvenciamenetéről grafikonokat is közölhet az adatlap, ezek tipikus alakja:

Alsó frekvenciákon az 1/f zaj dominál, felette fehér zaj. A törésponti frekvenciát szokás '1/f corner'-nek nevezni.

Az zajok hatásának számítása

Mivel a zajok véletlenszerűek, egymástól függetlenek, ezért a valószínűségszámításnak megfelelően nem a szórásaik (azaz effektív értékeik) összegződnek, hanem ezek négyzete. Tehát a teljesítménysűrűség-spektrumokat összegezzük, és ebből határozzuk meg az effektív értékeket.

A módszer a következő:

1. Számítsuk ki, hogy a spektrális zajfeszültségek és zajáramok a kimeneten mekkora zajfeszültségeket eredményeznek.
2. Ezek négyzeteinek összegével számítsuk ki az összesített teljesítménysűrűség-spektrumot.
3. A kapcsolás sávszélességének használatával számítsuk ki az effektív zajteljesítményt.
4. Az effektív zajteljesítményből négyzetgyökvonással határozzuk meg az effektív zajfeszültséget. Szükség esetén meghatározhatjuk a csúcstól-csúcsig terjedő zajamplitúdót is.

Az alábbi kapcsolás minden zajforrást figyelembe vesz, erre alkalmazzuk a számítási módszert:

Az alábbi táblázat felsorolja, melyik jelforrás milyen feszültséget eredményez a kimeneten:

Spektrális mennyiség	Erősítés	Kimeneti teljesítménysűrűség-spektrum
VR1no
VR2no	1
VR3no
Vno
Ibnno
Ibpno

A jobboldali oszlopban szereplő mennyiségeket összeadva jutunk tehát az összesített kimeneti teljesítménysűrűség-spektrumhoz, ennek négyzetgyöke adja a zajfeszültségspektrumot. Az erősítő sávszélességét használhatjuk arra, hogy kiszámítsuk az effektív zajteljesítményt, ebből pedig az effektív zajfeszültséget és a csúcstól-csúcsig terjedő zajfeszültséget.

Alacsony zajú áramkörök tervezési elvei

• Minél nagyobb a sávszélesség, annál nagyobb a kimeneten a zaj is. Ennek megfelelően olyan sávszélességet érdemes választani, ami a feladathoz illik. Ezt lehet befolyásolni passzív elemekkel, megfelelő műveleti erősítő megválasztásával.
• Az ellenállások értékeit érdemes olyan kicsi értéken tartani, amit az egyéb követelmények megengednek. Ezzel egyrészt az ellenállások termikus zajának, illetve a rajtuk átfolyó áram zajának a hatása is csökkenthető.
• A műveleti erősítőknek zajfeszültsége és zajárama is van. Nem elég az egyiket figyelembe venni. Hiába alacsony a zajfeszültség, ha a zajáram az ellenállásokon átfolyva ennél nagyobb hatású a kimeneten.
• Általában van domináns zajforrás. Mivel a zajok teljesítménye összegződik, ezért ha például az egyik zajforrás amplitúdója 20%-a a másikénak, akkor az eredőjükben ez mindössze 4%-ot jelent.

Példa: zajfeszültség mérése elemmel

A zaj mérése igen kicsi jelek kezelését jelenti, ezért különöen fontos minimalizálni minden más hatást. A tápfeszültség számára elemet célszerű használni, felmerülhet a kérdés, hogy elegendő-e egy tápfeszültség, mivel a zaj időfüggő, előjele is váltakozó. Az alábbi kapcsolás mutat be egy megoldást.

A szuperpozíció elvét használva a kimeneti feszültség V_b hatására

Mivel ekkor a műveleti erősítő bemenetei azonos potenciálon vannak, V_n-et zérusnak tekintjük, így nem folyik áram R₁-en és R₂-n sem.

A zajerősítés kiszámításához is vegyük figyelembe, hogy mivel a műveleti erősítő bemenetei közötti feszültségkülönbség zérus, így R1 árama

Ugyanez az áram folyik át a visszacsatolóköri ellenálláson és R₃ és R₄ párhuzamos eredőjén is (V_b-t zérusnak tekintjük). Így a kimeneti feszültség ennek az áramnak hatására:

A zajerősítés tehát

Figyelembe véve a kapcsolás sávszélességét az első fokozat kimeneti feszültsége végül:

ahol a sávszélesség a műveleti erősítő erősítés-sávszélesség szorzatának és a zajerősítésnek a hányadosa:

Ennek megfelelően a zajfeszültség a kimeneten egy DC szint körüli ingadozást jelent, így könnyen kezelhető egyetlen tápfeszültség esetén is a nagy zajerősítés, a műveleti erősítő neminvertáló bemenetére jutó feszültség erősítése egyszeres.

Egy további erősítőfokozatra is szükség van ahhoz, hogy a zajfeszültséget oszcilloszkóppal jól mérhetővé tegyük. Ehhez egy hasonló működésű második fokozatot használhatunk:

C₁ és R₅ a DC komponenst leválasztja, felüláteresztő szűrőként működik, ennek a fokozatnak az erősítése az A1 erősítő kimeneti jelére vonatkozóan:

Az áteresztő tartományban az erősítés

A nem-invertáló bemenetre DC feszültség jut, amire nézve a kapcsolás követő erősítőként működik C₁ jelenléte miatt, tehát a kimeneti feszültség DC komponense:

A kimenetre kötött felüláteresztő ezért szintén végez DC leválasztást, így az oszcilloszkóp DC módban használható, az alsó határfrekvenciát jóval alacsonyabbra választhatjuk, mint amit az oszcilloszkóp AC állása adna meg. Ezzel az 1/f szakasz is mérhetővé válik.

A megoldás előnyei:

• Elegendő egy tápfeszültségforrás, elemes táplálás.
• A nem-invertáló bemenetekre jutó DC feszültség erősítése 1.
• Az alsó határfrekvencia alacsony értékűre választható, az 1/f szakasz is mérhető.
• Az első fokozat nem-invertáló bementére jutó feszültség erősítse egyszeres, a műveleti erősítő zajfeszültségéé sokkal nagyobb. Bár R1 termikus zajának az erősítése is ekkora, az ellenállás értéke kicsinek választható a kis visszacsatolási tényező miatt. Ennek megfelelően a kimeneten lényegében a zajfeszültség hatása dominál.