Passzív és aktív szűrők

A szűrőáramkörök feladata az, hogy a jelnek csak egy adott frekvenciatartományba eső részét engedjék át, a többit blokkolják. Ideális esetben tehát az átviteli függvény az áteresztési tartományban állandó, máshol zérus. A valóságban nem pontosan állandó az erősítés, valamennyi erősítés van a zárási tartományban is, és van egy átmeneti tartomány is a kettő között. A követelményekben ezekre szabunk határokat és ehhez illeszkedő áramkört készítünk. Minél több tagból áll az átviteli függvény, annál jobban közelíthető az ideális eset. Ennek ára az, hogy több komponenst, bonyolultabb áramkört kapunk. Fontos ezért a megfelelő kompromisszum.

Az átviteli függvény számlálója és nevezője is polinom, ezek mindig felírhatók gyöktényezős alakban. Itt az egyes tagok gyökei lehetnek valósak, vagy komplexek is, ezeket a p-z síkon szokás ábrázolni. A Bode diagramos ábrázoláshoz és a gyakorlati megvalósításokhoz illeszkedően az elsőfokú tagok mellett másodfokú tagokat is használunk. Így végül ötféle tényező szorzataként állítható elő az átviteli függvény számlálója és nevezője is.

A gyakorlatban ezért elegendő első- és másodfokú szűrőtagokat készíteni, és ezeket megfelelően összekapcsolni.

Passzív szűrőkörök

Szűrőket passzív komponensekből is felépíthetünk, lényegében frekvenciafüggő feszültségosztót készítünk. Ehhez az ellenállások mellett kondenzátorokat és induktivitásokat használhatunk, melyeknek az impedanciája frekvenciafüggő. Első és másodfokú passzív szűrőtagokat is készíthetünk.

Aktív szűrőkörök

A passzív szűrőknek hátránya, hogy az egymás után kötött tagok terhelik egymást, így megváltoztatják az átviteli függvényt a terheletlen esethez képest, bonyolulttá válik a kezelésük is. Másrészt az induktivitások a gyakorlatban jelentősebben eltérnek az ideálistól.

Ezeket a hátrányokat aktív szűrőkkel küszöbölhetjük ki. Az aktív szűrők műveleti erősítőket (bizonyos esetben akár egyszerűbb tranzisztoros erősítőket) használnak fel. Ezzel megoldható az egyes fokozatok nagy bemeneti és kis kimeneti ellenállása és induktivitások nélkül is realizálhatók az említett első- és másodfokú szűrőtagok.

A szűrők osztályozása

A gyakorlatban használt szűrők jellemzőit és leírását foglalja össze az alábbi táblázat.

Jellemző	Leírás
Áteresztő-tartomány (passband)	Ez az a frekvenciasáv, amibe eső jeleket átengedi a szűrő
Ingadozás az áteresztő tartományban (passband ripple)	Az áteresztő-tartományban az erősítés valamennyit változik, akár ingadozik, ennek a mértékét adja meg dB egységekben
Levágási frekvencia (cutoff frequency)	Az áteresztő-tartomány határfrekvenciája
Zárótartomány (stopband)	Az a frekvenciatartomány, amiben az előírt csillapítási mérték teljesül. Ebbe a frekvenciatartományba eső jeleket szűrjük
Zárótartományi csillapítás (stopband attenuation)	A zárótartományi csillapítás mértéke, dB egységekben
Átmeneti tartomány (transition band)	Az áteresztő és zárótartomány közötti frekvenciasáv

Szűrőtípusok

Típus	Átviteli függvény
Aluláteresztő (lowpass)
Felüláteresztő (highpass)
Sáváteresztő (bandpass)
Sávzáró (bandstop, bandreject, notch)
Mindentáteresztő (allpass)

Az úgynevezett mindentáteresztő szűrő erősítése ugyan állandó, de a fázistolása frekvenciafüggő, így jelek késleltetésére használható.

Elsőfokú aktív szűrők

Az elsőfokú aktív szűrők átviteli függvényének a számlálójában és nevezőjében is csak elsőfokú polinom lehet, szorzóként megjelenhet s egész kitevőjű hatványa is. Ez azt jelenti, hogy az átviteli függvényben lehet egy pólus, egy zérus, illetve egy zérus DC-n (azaz a p-z síkon az origóban). A pólusok és zérusok csak valósak lehetnek, tehát a p-z- síknak csak a valós tengelyére eshetnek.

Az alábbi táblázat foglalja össze a leggyakrabban használt kapcsolásokat. X₁ az invertáló bemenet és a bemenő jel vagy földpont közötti impedancia, X₂ pedig a visszacsatolóköri impedancia.

Kapcsolás	Átviteli függvény
Aluláteresztő szűrő	\( \displaystyle X_1=R_1 \) \( \displaystyle X_2= \frac {R_2 \frac {1}{sC_2}}{R_2+ \frac {1}{sC_2}}= \frac {R_2}{1+sR_2C_2} \) \( \displaystyle H(s)= - \frac {X_2}{X_1}=- \frac {R_2}{R_1} \frac {1}{1+sR_2C_2} \)
Felüláteresztő szűrő	\( \displaystyle X_1=R_1+ \frac {1}{s C_1}= \frac {1+sR_1C_1}{sC_1} \) \( \displaystyle X_2=R_2 \) \( \displaystyle H(s)=- \frac {X_2}{X_1}=- \frac {sR_2C_1}{1+sR_1C_1} \)
Aluláteresztő szűrő	\( \displaystyle H(s)= \frac {R_1+R_2}{R_1} \frac {1}{1+sR_3C_3} \)
Felüláteresztő szűrő	\( H(s)= \displaystyle \frac {R_1+R_2}{R_1} \frac {sR_3C_3}{1+sR_3C_3} \)
Mindentáteresztő szűrő	\( H(s)= \displaystyle \frac {1-sRC}{1+sRC} \)
Mindentáteresztő szűrő	\( H(s)= \displaystyle \frac {sRC-1}{sRC+1} \)

Másodfokú szűrők

A másodfokú aktív szűrőket az alábbi átviteli függvény írja le:

Szűrőtípus	Átviteli függvény
Aluláteresztő	\( \displaystyle H(s)=H_0 \frac {1}{1+ \frac {s}{Q \omega_0} + \frac {s^2}{\omega_0^2}} \)
Felüláteresztő	\( \displaystyle H(s)=H_0 \frac {\frac {s^2}{\omega_0^2}}{1+ \frac {s}{Q \omega_0} + \frac {s^2}{\omega_0^2}} \)
Sáveresztő	\( \displaystyle H(s)=H_0 \frac {\frac {s}{\omega_0}}{1+ \frac {s}{Q \omega_0} + \frac {s^2}{\omega_0^2}} \)
Sávzáró	\( \displaystyle H(s)=H_0 \frac {1+ \frac {s^2}{\omega_0^2}}{1+ \frac {s}{Q \omega_0} + \frac {s^2}{\omega_0^2}} \)

Elsőfokú szűrők sorbakapcsolása

Másodfokú szűrőt kaphatunk első fokú szűrők sorbakapcsolásával is. Aktív szűrőkkel biztosítható, hogy a kimeneti ellenállás olyan kicsit legyen, hogy a következő fokozat terhelése ne változtathassa meg a szűrő viselkedését, így az eredő átviteli függvény a tagok átviteli függvényének szorzatával adható meg.

Akár egy műveleti erősítővel is felépíthető másodfokú aktív szűrő, erre mutat példát az elterjedten használt sávszűrő:

Kapcsolás	Átviteli függvény
	\( \displaystyle X_1=R_1+ \frac {1}{s C_1}= \frac {1+sR_1C_1}{sC_1} \) \( \displaystyle X_2= \frac {R_2 \frac {1}{sC_2}}{R_2+ \frac {1}{sC_2}}= \frac {R_2}{1+sR_2C_2} \) \( \displaystyle H(s)=- \frac {X_2}{X_1}=- \frac {sR_2C_1}{(1+sR_1C_1)(1+sR_2C_2)} \)

Másodfokú szűrőtagok

Az általános másodfokú szűrők alkalmasak arra is, hogy az átviteli függvényükben komplex gyökök legyenek, így az átviteli függvényekhez mind az ötféle tényező előállítható első és másodfokú szűrőtagok alkalmazásával.

A következőkben másodfokú aluláteresztő aktív szűrők elterjedt kapcsolásait vizsgáljuk meg. A szakirodalomban megtalálható a többi típus is, az elvek azonosak.

Sallen-Key másodfokú szűrő

Az egyik legegyszerűbb és legelterjedtebb másodfokú aktív szűrő a Sallen-Key szűrő:

Az átviteli függvény meghatározásához alkalmazzuk a Thevenin-tételt az R₁ és C₁ komponensekből álló feszültségosztóra. A helyettesítő generátor feszültsége:

A helyettesítő impedancia:

Ennek felhasználásával számítsuk ki az R₂ és C₂ feszültségosztó kimeneti feszültségét, ami a neminvertáló bemenete jut és a feszültségkövető miatt a kimeneti feszültséggel egyezik meg:

Átalakítással:

Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy V_out együtthatóját kapjuk meg:

Az átviteli függvény végül:

A szűrő határfrekvenciája:

A jósági tényező:

Hogyan számíthatók az alkatrészértékek?

Általában két alkatrész értékét rögzítjük, az ω és Q mennyiségekre adott követelmények alapján számíthatjuk ki a másik két alkatrész értékét. Az alábbiak három gyakori esetet mutatnak be. A levezetéseket Kincses Hanna készítette.

Ismert C1 és C2

Alakítsuk át az \( \omega_0=\frac{1}{\sqrt {R_1 \cdot C_1 \cdot R_2 \cdot C_2}} \) egyenletet:

Ezt helyettesítsük be a \( Q=\frac{\sqrt{R_1 \cdot C_1 \cdot R_2 \cdot C_2}}{(R_1 + R_2)\cdot C_2} \) egyenletbe

Emeljük négyzetre és rendezzük R1-re a \( \sqrt{R_1 \cdot C_1 \cdot R_2 \cdot C_2}=\frac{1}{\omega_0} \) egyenletet:

Helyettesítsük be \( Q=\frac{1}{\omega_0\cdot (R_1 + R_2)\cdot C_2} \) egyenletbe

Átrendezve:

Végezzük el az összeg beszorzását:

Egyszerűsítve:

Szorozzuk be mindkét oldalt az első tag nevezőjével:

Nullára rendezéssel kapjuk:

Ez egy másodfokú egyenlet R2-re, aminek a megoldása:

R1 éertékét R2 ismeretáben kiszámíthatjuk:

Ismert R1 és C1

Alakítsuk át az \( \omega_0=\frac{1}{\sqrt {R_1 \cdot C_1 \cdot R_2 \cdot C_2}} \) egyenletet:

Helyettesítsük ezt be Q kifejezésébe:

Négyzetre emeléssel kapjuk:

Ebből kifejezhető C2:

Helyettesítsük be Q egyenletébe

Ebből:

Átrendezve

Ebből megkapjuk R2-t:

és C2-t:

Ismert R2 és C2

Alakítsuk át az \( \omega_0=\frac{1}{\sqrt {R_1 \cdot C_1 \cdot R_2 \cdot C_2}} \) egyenletet:

Helyettesítsük ezt be Q kifejezésébe:

Fejezzük ki R1+R2 értékét:

Ebből R1-ra kapjuk:

Végül C1-et is megadhatjuk:

Többszörös visszacsatolású szűrő

A többszörös visszacsatolású szűrőnél (multiple-feedback, MFB filter) a kimenetet a bemeneti hálózat két pontjára is visszacsatoljuk:

A C₁ felső kivezetésén levő A csomópont feszültségére nézve a műveleti erősítő integrátorként működik, ezért ebben a csomópontban a feszültség:

Ennek felhasználásával írjuk fel erre a csomópontra a csomóponti törvényt:

Ebből:

Átrendezéssel:

V_out kiemelésével:

Az átviteli függvény ezzel:

A szűrő határfrekvenciája:

A jósági tényező:

Állapotváltozós aktív szűrő

Az állapotváltozós aktív szűrő (state-variable active filter) egy univerzálisan felhasználható, hangolható szűrőkapcsolás. Analóg számítógépes megoldásnak is tekinthető, mivel két precíz integrátort használ, amik közvetlenül tartoznak differenciálegyenlet realizálásához: a bemeneti feszültségük a kimeneti feszültség deriváltjával arányos. Az arányossági tényező egyszerűen változtatható, amivel a szűrőparaméterek hangolhatóvá tehetők.

A szűrő felépítése a következő:

Az A₃ erősítővel felépített bemeneti feszültségét fejezzük ki a kimenetén levő feszültséggel:

Ezt felhasználva fejezzük ki az A₂ integrátor bementi feszültségét is:

Ez a feszültség megegyezik az A₁ műveleti erősítővel megvalósított súlyozott összegző kimeneti feszültségével. A szuperpozíció tételét alkalmazva könnyen megkaphatjuk ezt a feszültséget:

Átrendezéssel:

Az átviteli függvény ennek megfelelően:

A szűrő határfrekvenciája:

A jósági tényező:

Az integrátorok egyszerű átviteli függvényeit tekintve láthatjuk, hogy A₁ kimenetén felüláteresztőnek, A₂ kimenetén pedig sávszűrőnek megfelelő átviteli függvény írja a működést.

A szűrő hangolása

A kapcsolás jelentős előnye, hogy sokkal egyszerűbben hangolható a határfrekvencia, elegendő az integrátorok hangolását megoldani. Mivel az integrátorok átviteli függvényében nincs töréspont, a hangolás csak az erősítés megváltoztatását jelenti. Tulajdonképpen a visszacsatolóköri kondenzátort töltő áramot kell csak skálázni. Ennek az alábbi módjai lehetségesek:

• Az ellenállás értékének hangolása megoldható potencióméterrel. Digitális potencióméter használatával digitálisan hangolható az integrátor.
• Az integrátor bemeneti jelét feszültséggel tudjuk skálázni, ha analóg szorzót használunk.
• Az integrátor bemeneti jelét szorzó típusú D/A konverterrel is skálázhatjuk. Ekkor a D/A konverter referenciabementére kerül a jel, a D/A konverter kimenete hajtja meg az integrátort.

A hangolást úgynevezett kapcsolt kapacitású szűrőkkel is megoldhatjuk, ezt a következő rész tárgyalja.

Kapcsolt kapacitású szűrők

Az eddig tárgyalt szűrőket folytonos idejű szűrőknek is nevezik a kapcsolt kapacitású - diszkrét idejű - szűrőktől való megkülönböztetés érdekében.

A kapcsolt kapacitású szűrők fő eleme az úgynevezett kapcsolt kapacitású integrátor:

Ha a kapcsoló a bemeneti jel felé áll, akkor a C_s mintavételi kondenzátor gyorsan feltöltődik a bemeneti feszültség értékére. Ha a kapcsoló átbillen a másik állásba, akkor a C_s kondenzátoron tárolt összes töltés átkerül a C_f visszacsatolóköri kondenzátorra, mivel a műveleti erősítő az invertáló bementén 0V-ot tart a negatív visszacsatolás miatt.

Ha a kapcsolót periodikusan kapcsoljuk a két állapot között f frekvenciával, akkor az egy pediódusnyi idő alatt átjutott töltésmennyiség:

Mivel a periódusidő 1/f, így ez a következő nagyságú áramhoz tartozik:

A kimeneti feszültség ennek alapján:

Az áram és a kimeneti feszültség a mintavételezésnek megfelelően lépcsőszerűen változik, de ha kellően nagy a mintavételi frekvencia a jel változási sebességéhez képest, akkor változási lépések kicsik lehetnek.

Az alábbi szimuláción kék vonal a bemeneti jelet ábrázolja, vörös színnel látható a kimeneti jel C_f=4⋅C_s esetére. A fekete vonal a megfelelő folytonos idejű RC integrátor kimeneti jelét reprezentálja. A jel- és kapcsolási frekvencia arányának változtatásával vizsgálható az integrálás hangolása és a lépcsőszerűség.

Így tehát skálázható a bementi áram, ami hangolható integrátort jelent. A kapcsolt kapacitású integrátor tehát alkalmas órajellel hangolható (clock-tunable) állapotváltozós szűrők megvalósítására. Kapcsolt kapacitású szűrők széles választékban állnak rendelkezésre integrált áramköri formában.

Mivel a kapcsolt kapacitású szűrők periodikusan mintavételezik a jelet, így érvényes rájuk a mintavételi tétel. Ennek megfelelően az aliasing elkerülése érdekében hagyományos folytonos idejű előszűrés lehet szükséges. A kapcsolt kapacitású szűrők szűrési frekvenciájánál a mintavételi frekvencia 50-100-szor nagyobb, ennek figyelembe vételével kell mérlegelni az előszűrés szükségességét.

Szükség esetén a szűrők kimenetén megjelenő lépcsőszerűséget is csökkenthetjük folytonos idejű szűrővel.

Magasabb fokú aktív szűrők

Az ideális szűrőkarakterisztika jobb közelítéséhez magasabb fokú szűrőkre van szükség. Az ilyen szűrőket első és másodfokú tagok sorbakapcsolásával hozhatjuk létre. Például egy 5-ödfokú szűrő egy elsőfokú és két másodfokú szűrőtagból áll.

Természetesen az egyes tagok paraméterei (határfrekvencia, erősítés, jósági tényező) sokfélék lehetnek, így sokféle magasabb fokú szűrőt építhetünk meg. A szempontok között lehet a minél meredekebb vágási karakterisztika, az áteresztő tartományban egyenletes erősítés, az időbeli jelátvitelnél minél jobb jelalakmegőrzés. A kiválasztott előnyökkel rendelkező szűrők egyes szűrőtagjainak paramétereit régebben táblázatokban adták meg, ma már online tervezőprogramokkal kaphatjuk meg ezeket, sőt, a kapcsolásokat és alkatrészértékeket is.

A sokféle változat közül három elterjedten használt és különböző előnyőkkel rendelkező megoldást vizsgálunk meg.

Szűrőkarakterisztikák

Az alábbi ábrák 5-ödfokú aluláteresztő szűrők jellemzőire mutatnak példákat az előzőekben említett háromféle szűrő esetére. Az egyes típusokhoz tartozó vonalak színe:

• Butterworth: piros
• Chebyshev: kék
• Bessel: zöld

Az erősítés frekvenciamenete

Fáziskarakterisztika

Válasz ugrásfüggvényre

Csoportkésleltetési idő

Ha egy adott frekvenciájú jel Δt idővel késik, akkor az időfüggő komponense az alábbi módon írható le:

Így

A csoportkésleltetési idő (group delay) - más néven csoportfutási idő - azt jellemzi, hogy a frekvencia változásával milyen módon változik a fázistolás, ezzel együtt a késleltetési idő. A definíciója:

Ez a fáziskarakterisztika meredekségét adja meg. Ha a fázistolás lineárisan csökken a frekvencia függvényében, akkor ennek értéke állandó. Ez jó jelalakhűséget eredményez, mivel a jel frekvenciafelbontásában előforduló komponensekre azonos az időbeli késleltetés. Ezt legjobban a Bessel szűrőkkel lehet közelíteni szélesebb frekvenciatartományban.

A mindentátereszttő szűrőknél különösen fontos a lineáris fázismenet, azaz állandó csoportkésleltetés.

A szűrőtagok karakterisztikái

A következő példa egy 5-ödfokú, 100Hz határfrekvenciájú aluláteresztő Chebyshev szűrő három (egy első és két másodfokú) tagjának erősítéseit és az eredő erősítést mutatja:

Az alábbi táblázat adja meg az egyes tagok paramétereit. Mindegyik tag erősítése 1, az első tag elsőfokú, a másik kettő pedig másodfokú.

A görbe színe	f0 [Hz]	Q
piros	28	-
kék	63.37	1.3988
zöld	96.14	5.5559

Szűrőtranszformációk

Ha ismert a karakterisztika az aluláteresztő szűrőre, akkor az átviteli függvény áttranszformálható felüláteresztő, sávszűrő vagy sávzáró formára.

Felüláteresztő karakterisztikát úgy kapunk, hogy a logaritmikus frekvenciatengelyen a karakterisztikát a töréspontra tükrözzük, ami lineárisan a frekvencia reciprokát jelenti, azaz 1/s lép s helyébe, ω₀/ω pedig ω/ω₀ helyébe. Az aluláteresztő DC erősítése a felüláteresztő változat végtelen nagy frekvenciához tartozó erősítésének felel meg.

Sáváteresztő esetén s helyébe

ahol Δω az ω₀ középpontú átvitel szélességéhez tartozik a logaritmikus tengelyen, azaz

Részletesebb leírás a referenciákban található.